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Lineare Unabhängigkeit dreier Vektoren untersuchen

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit, R3, Vektor

DerFahnder aktiv_icon

22:51 Uhr, 12.11.2009

Also wir haben die 3 Vektoren im

R 3 a, b, c

gegeben.
Zu untersuchen ist nun, ob die 3 Vektoren:

{a + 2 b, a + b + c, a - b - c}

ebenfalls linear unabhängig sind.

Ich habe mir überlegt, daß ich zeigen müsste, daß

a 1 \cdot (a + 2 b) + a 2 \cdot (a + b + c) + a 3 \cdot (a - b - c) =

Nullvektor ist.

Aber von dort komme ich irgendwie auf keinen grünen Zweig. Hat da jemand eine Idee?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

pleindespoir aktiv_icon

23:08 Uhr, 12.11.2009

Die Überprüfung, ob zum Beispiel drei Vektoren aus

ℝ^{3}

linear unabhängig sind, entspricht dem Lösen eines linearen Gleichungssystems. Dazu wird aus

0 = a_{1} \cdot u + a_{2} \cdot v + a_{3} \cdot w

ein homogenes lineares Gleichungssystem gebildet:

0 = a_{1} \cdot u_{x} + a_{2} \cdot v_{x} + a_{3} \cdot w_{x}

0 = a_{1} \cdot u_{y} + a_{2} \cdot v_{y} + a_{3} \cdot w_{y}

0 = a_{1} \cdot u_{z} + a_{2} \cdot v_{z} + a_{3} \cdot w_{z}

und mittels des gaußschen Eliminationsverfahrens nach a1,a2,a3 gelöst. Gibt es nur eine einzige Lösung, nämlich dass a1 = a2 = a3 = 0, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Existieren weitere Lösungen, sind sie linear abhängig.

Quelle:
http//de.wikipedia.org/wiki/Linear_unabh%C3%A4ngig

DerFahnder aktiv_icon

23:20 Uhr, 12.11.2009

Nunja, das ist mir klar.
Das Problem ist nur, daß wenn ich das LGS aufstell und dann

z . b

. nach

a 1

hin auflöse der Term nicht wirklich "griffig" ist und ich mir nicht vorstellen kann, daß ich damit auf dem richtigen Weg bin

: (

Was ich jetzt noch gemacht habe ist folgendes:

a 1 \cdot (a + 2 b) + a 2 \cdot (a + b + c) + a 3 \cdot (a - b - c) =

Nullvektor

\Leftrightarrow a 1 \cdot a + a 1 \cdot 2 b + a 2 \cdot a + a 2 \cdot b + a 2 \cdot c + a 3 \cdot a - a 3 \cdot b - a 3 \cdot c =

Nullvektor

\Leftrightarrow (a 1 + a 2 + a 3) \cdot a + (2 a 1 + a 2 - a 3) \cdot b + (a 2 - a 3) \cdot c =

Nullvektor

So und da man ja weiß, daß

a, b, c

linear unabhängig sind, gibt es keine Lösung für diese Gleichung außer das

a 1 = a 2 = a 3 = 0

ist oder, weil ja bekannt ist, daß

b 1 \cdot a + b 2 \cdot b + b 3 \cdot c =

Nullvektor nur die triviale Lösung

b 1 = b 2 = b 3 = 0

hat?

pleindespoir aktiv_icon

23:53 Uhr, 12.11.2009

\vec{u} = + 1 a, + 2 b, + 0 c

\vec{v} = + 1 a, + 1 b, + 1 c

\vec{w} = + 1 a, - 1 b, - 1 c

0 = a_{1} \cdot + 1 + a_{2} \cdot + 1 + a_{3} \cdot + 1

0 = a_{1} \cdot + 2 + a_{2} \cdot + 1 + a_{3} \cdot - 1

0 = a_{1} \cdot + 0 + a_{2} \cdot + 1 + a_{3} \cdot - 1

so ist das doch viel übersichtlicher, oder?

DerFahnder aktiv_icon

00:08 Uhr, 13.11.2009

Also vielleicht nochmal anders:

Wir haben 3 Vektoren:

a =

(ax / ay / az)

b =

(bx / by / bz)

c =

(cx / cy / cz)

Diese Vektoren sind linear unabhängig,

d . h

a 1 \cdot a + a 2 \cdot b + a 3 \cdot c =

Nullvektor

hat nur die Lösung

a 1 = a 2 = a 3 = 0

.

Nun sollen wir folgende drei neuen Vektoren bauen:

a' =

(ax

+

2bx / ay

+

2by / az

+

2bz)

b' =

(ax

+

+

cx / ay

+

+

cy / az

+

+

cz)

c' =

(ax - bx - cx / ay - by - cy / az - bz - cz)

und diese auf lineare Unabhängigkeit prüfen.

pleindespoir aktiv_icon

00:14 Uhr, 13.11.2009

ok, habe die Aufgabenstellung falsch aufgefasst.

Ich habe Deine a,b,c nicht für Vektoren gehalten, da sie nicht überpfeilt waren.

Ich kümmere mich aber jetzt nicht mehr weiter, da zu spät.

arrow30

00:18 Uhr, 13.11.2009

moin Derfahnder ,

mit deinem Beitrag um 23:20 Uhr bist du eigentlich fertig !

du hast damit bewiesen das die drei Vektoren nicht linearabhängig !

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