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Lineare Unabhängigkeit einer Familie

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Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit

manuel496 aktiv_icon

21:01 Uhr, 18.11.2017

Guten Abend!

a) {(v_{i})}_{i} \in I

sei eine Familie in einem

K

Vektorraum. Ich soll zeigen

{(v_{i})}_{i} \in I

ist genau dann linear unabh., wenn

{v_{i} : i \in I}

linear unabh ist und die Abbildung

i \to v_{i}

injektiv ist.

b)

Weiters ist zu zeigen, dass jede linear unabh., Familie

(v_{i}) i \in I

eine Linearkombination des Nullvektors erlaubt, die nicht trivial ist.

Ich habe leider keine Idee, wie ich solche Bsp lösen soll. Linear unabhägig, bedeutet ja das Gegenteil von linear abhängig. Und linear abhängig bedeutet es gibt eine nichttriviale Linearkombination, die den Nullvektor ergibt. Hier habe ich allerdings eine Familie

{(v_{i})}_{i} \in I

(also eine Funktion?) gegeben und eine Bildmenge (??)

{v_{i} : i \in I},

sowie eine Abbildung

i \to v_{i}

nur ich weiß nicht was ich damit anfangen soll.

michaL aktiv_icon

21:13 Uhr, 18.11.2017

Hallo,

hm, ich werde nicht schlau aus der Sache...
Bei de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit#Definition ist die lineare Unabhängigkeit einer Familie von Vektoren genau so definiert wie die lineare Unabhängigkeit einer (evtl. unendlichen) Menge von Vektoren.

Insofern passt die Aufgabenstellung nicht so ganz, höchstens als triviales Ergebnis, dass bei einer linear unabhängigen Familie insbesondere keine Doppelungen vorkommen können.
Das ist ja aber trivial...
Ebenso können auch keine Vielfachen auftreten und der Nullvektor schon mal gar nicht.

Langer Rede kurzer Sinn: bitte poste eure Definitionen von linearer Unabhängigkeit von
* Familien
* Mengen
und hänge am besten auch gleich einen Scan der Originalaufgabenstellung an.

Mfg Michael

manuel496 aktiv_icon

21:23 Uhr, 18.11.2017

Hier die Bilder

manuel496 aktiv_icon

11:04 Uhr, 19.11.2017

Helfen dir die Fotos in irgendeiner Weise weiter?

manuel496 aktiv_icon

12:23 Uhr, 19.11.2017

evtl hilft das:
de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum)#Wichtige_Eigenschaften

michaL aktiv_icon

12:24 Uhr, 19.11.2017

Hallo,

ok, steckt doch mehr dahinter, als ich zunächst erwartet habe. Eure Definition von linear unabhängig ist ungewöhnlich.

Ok, ich würde wie folgt vorgehen:
* Zuerst zeigst du, dass bei einer linear unabhängigen Familie

(v_{i})_{i \in I}

die Abbildung

i : I \to V

notwendigerweise injektiv sein muss. Widerspruchbeweis sollte da einfach machbar sein!
* Danach würde ich mir "

\Rightarrow

" vornehmen, das mit dem vorherigen zusammen recht einfach sein sollte.
*Anschließend dann "

\Leftarrow

".

Der Schlüssel liegt darin, dass du zuerst die Injektivität beweist, sodass du eigentlich nur

(v_{i})_{i \in I}

lin. unabh.

\overset{}{\Leftrightarrow} {v_{i} ∣ i \in I}

(

= i (I)

) lin. unabh. beweisen musst.

Und das ist eigentlich recht einfach. Der wesentliche Aspekt ist eben, dass

{v_{i} ∣ i \in I} \ {v_{i_{0}}}

nicht das gleiche sein muss wie

{v_{i} ∣ i \in I \ {i_{0}}}

, wenn denn die Abbildung

i

NICHT injektiv wäre.

Dadurch, dass du das aber vorher klärst, wird die Sache doch recht einfach.

Weitere Fragen?

Mfg Michael

manuel496 aktiv_icon

14:23 Uhr, 19.11.2017

Also zuerst zeige ich, dass bei einer linear unabhängigen Familie

(v_{i}) i \in I

die Abbildung notwendigerweise injektiv sein muss.

Wenn die Abbildung injektiv ist, folgt dass

(v_{i}) i \in I

dasselbe ist wie

{v_{i} : i \in I}

und weil die zwei Ausdrücke ident sind, folgt daraus, dass dann auch

{v_{i} : i \in I}

linear unabhängig?

michaL aktiv_icon

14:47 Uhr, 19.11.2017

Hallo,

hm, dasselbe bzw. identisch ist es nicht. Es führt aber in Bezug auf linear unabhängig auf das gleiche hinaus.

Mach mal, dann sehen wir schon.

Mfg Michael

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