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Lineare Unabhängigkeit von Abbildungen
Universität / Fachhochschule
Körper
Lineare Abbildungen
Lineare Unabhängigkeit
Tags: Körper, Lineare Abbildungen, Lineare Unabhängigkeit
 
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Es seien V, W Vektorräume über einem Körper k, (v1, . . . , vn) eine Basis von V und f : V → W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn (f(v1), . . . , f(vn)) linear unabhängig sind. Was ich bereits weiß: Falls das Gleichungssystem a1v1+a2v2+...+anvn=0 nur die Lösung a1=a2=...=an=0 besitzt, heißen die Vektoren linear unabhängig. Injektiv: Eine Funktion ist injektiv, wenn jeder y-Wert nur maximal einen dazugehörigen x-Wert besitzt. aber wie löse ich nun die Aufgabe? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, fang mal damit an, dass injektiv ist. Dann ist zu zeigen, dass linear unabhängig sind. Die Bedingung für lineare Unabhängigkeit hast Du ja aufgeschrieben, also wende sie auf an und benutze, dass linear ist. Gruß pwm |
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Ah ok also zeigen wir jetzt erstmal diese Richtung: f=injektiv -> l.u.: Wenn f injektiv ist gilt: f injektiv <=> kern(f) = 0. Betrachte => , da kern(f) = 0 => , da die lin. unabh. sind Reicht das so oder muss man mehr zeigen? |
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Hallo, das ist es. (Ich würde allerdings noch einen Schlusssatz drunter schreiben: Also ist linear unabhängig.) Gruß pwm |
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Ok gut! Aber muss ich jetzt noch die andere Richtung zeigen? Also: Aus l.u => f=injektiv ? |
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Klar, die Idee dafür ist sehr ähnlich. Grußpwm |
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