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Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren

Universität / Fachhochschule

21:06 Uhr, 22.04.2010

Hallo!
Ich habe mit folgendem Beweis Probleme:
Seien

V

ein RR-Vektorraum,

f : V \to V

eine lineare Abbildung und

v, w \in V

Eigenvektoren zu den Eigenwerten

λ, μ \in ℝ,

resp., mit

λ \neq μ

. Zeigen Sie, dass

v

und

w

linear unabhängig sind.
Ich finde häufig Beweise, die das für

n

Eigenvektoren und

n

Eingenwerten per vollständiger Induktion nachweisen, kriegs aber nicht hin, das auf mein Beispiel zu übertragen. Hat jemand einen Tipp?
Grüße,
Sonja

21:48 Uhr, 22.04.2010

Sei

(1) α v + β w = 0

.
Zu zeigen ist, dass hieraus

α = β = 0

folgt.
Dann gilt

0 = f (0) = f (α v + β w) = α f (v) + β f (w) = α λ v + β μ w

also

(2) α λ v + β μ w = 0

Kombiniere die Gleichungen als

(2) - λ \cdot (1) :

β (μ - λ) w = 0 | \cdot \frac{1}{μ - λ}

β w = 0

Da "Eigenvektor" insbesondere

\neq 0

bedeutet, folgt

β = 0

Analog folgt

α = 0

□

11:14 Uhr, 23.04.2010

super, danke!

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