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Lineare Unabhängigkeit von Polynomen prüfen

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Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit, polynom

 
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Marcell025

Marcell025 aktiv_icon

17:08 Uhr, 21.08.2017

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Ich habe eine Frage zur Aufgabe im Bild:
Es soll gezeigt werden, dass die Polynome eine Basis sind. Meine Idee ist zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind. Kann ich die Polynome als Vektoren bezüglich der kanonischen Basis des Polynomkörpers (1,t,t2,t3) schreiben und dann so wie mit Vektoren verfahren (triviale Linearkombination)?
Also meine Vektoren:
(5,0,0,0),(7,1,0,0),(1,2,1,0),(8,12,6,1) sind linear unabhängig..

Gruss und vielen Dank im voraus!

Unbenannt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

17:20 Uhr, 21.08.2017

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Hallo,

> Kann ich die Polynome als Vektoren bezüglich der kanonischen Basis des Polynomkörpers (1,t,t2,t3) schreiben
> und dann so wie mit Vektoren verfahren (triviale Linearkombination)?

Ja. Aber dass man das kann, muss man sich erst klar machen.

Beispiel:
Behauptung: Die Polynome 1 und t sind linear unabhängig.
Der Nachweis funktioniert so, wie in der Definition:
Sei also 0=λ⋅1+μ⋅t

Und jetzt der Trick: Da die Gleichung für alle t gelten soll, muss sie auch für t=0 gelten:
0=λ+μ⋅0=λ, also gilt λ=0.

Außerdem muss die Gleichung mit der Folgerung auch für t=1 gelten:
⇒0=0+μ⋅1=μ, d.h. es gilt auch μ=0.

Also folgt aus 0=λ⋅1+μ⋅t: λ=0, μ=0

Und genau das ist gleichbedeutend damit, dass 1 und t linear unabhängig sind.

So, genau diesen Trick musst du jetzt mit deinem größerem System anwenden. Welche Werte du wählst (0 und 1 sind schon sinnvoll), ist halbwegs egal. Im Prinzip erhältst du ein Gleichungssystem und eine van-der-Monde-Determinante: de.wikipedia.org/wiki/Vandermonde-Matrix

Mfg Michael
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