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Lineare Unabhängigkeit zeigen

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Algebra, Lineare Unabhängigkeit, Vektor

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15:24 Uhr, 23.05.2018

Hallo,

komme bei der Aufagbe a und

b

nicht weiter.

Bitte um Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Bummerang

15:46 Uhr, 23.05.2018

Hallo,

a)

Angenommen, die

n

Vektoren

(a \cdot \vec{v_{1}} + b \cdot \vec{v_{2}}), \vec{v_{2}}, . .

, \vec{v_{n}}

wären nicht linear unabhängig, dann gäbe es eine nichttriviale Linearkombination:

λ_{1} \cdot (a \cdot \vec{v_{1}} + b \cdot \vec{v_{2}}) + λ_{2} \cdot \vec{v_{2}} + . .

+ λ_{n} \cdot \vec{v_{n}} = \vec{0}

mit

λ_{i} \in K

für alle

i \in {1, 2, ..., n}

\Rightarrow λ_{1} \cdot a \cdot \vec{v_{1}} + λ_{1} \cdot b \cdot \vec{v_{2}} + λ_{2} \cdot \vec{v_{2}} + . .

+ λ_{n} \cdot \vec{v_{n}} = \vec{0}

\Rightarrow λ_{1} \cdot a \cdot \vec{v_{1}} + (λ_{1} \cdot b + λ_{2}) \cdot \vec{v_{2}} + . .

+ λ_{n} \cdot \vec{v_{n}} = \vec{0}

Fall 1: In dieser nichttrivialen Linearkombination ist

λ_{1} = 0

\Rightarrow

Mindestens ein

λ_{i} \neq 0

mit

i \in {2, 3, ..., n}

und

\Rightarrow 0 \cdot a \cdot \vec{v_{1}} + (0 \cdot b + λ_{2}) \cdot \vec{v_{2}} + . .

+ λ_{n} \cdot \vec{v_{n}} = \vec{0}

\Rightarrow 0 \cdot \vec{v_{1}} + λ_{2} \cdot \vec{v_{2}} + . .

+ λ_{n} \cdot \vec{v_{n}} = \vec{0}

\Rightarrow

Es existierte bereits eine nichttriviale Linearkombination für die Vektoren

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, . .

, \vec{v_{n}}

und diese waren nicht linear unabhängig. Das ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass die Vektoren

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, . .

, \vec{v_{n}}

linear unabhängig sind.

Fall 2: In dieser nichttrivialen Linearkombination ist

λ_{1} \neq 0

\Rightarrow

Nach Division durch

λ_{1} :

a \cdot \vec{v_{1}} + (b + \frac{λ_{2}}{λ_{1}}) \cdot \vec{v_{2}} + . .

+ \frac{λ_{n}}{λ_{1}} \cdot \vec{v_{n}} = \vec{0}

Das ist, wegen

a \neq 0

eine nichttriviale Linearkombination der Vektoren

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, . .

, \vec{v_{n}}

. Das ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass die Vektoren

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, . .

, \vec{v_{n}}

linear unabhängig sind.

Da in beiden Fällen der vollständigen Fallunterscheidung ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass die Vektoren

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, . .

, \vec{v_{n}}

linear unabhängig sind entsteht, muss die Annahme, dass die

n

Vektoren

(a \cdot \vec{v_{1}} + b \cdot \vec{v_{2}}), \vec{v_{2}}, . .

, \vec{v_{n}}

nicht linear unabhängig sind, falsch gewesen sein. Also sind die

n

Vektoren

(a \cdot \vec{v_{1}} + b \cdot \vec{v_{2}}), \vec{v_{2}}, . .

, \vec{v_{n}}

linear unabhängig.

b)

Gegenbeispiel:

\vec{v_{1}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

\vec{v_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

\vec{v_{3}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

mit 1 das Einselement aus

K

und 0 das Nullelement aus

K

Oder besser noch allgemein unter Verwendung von

a)

Seien

\vec{v_{2}}, \vec{v_{3}} \in V

linear unabhängig, dann gilt:

(\vec{v_{2}} + \vec{v_{3}}), \vec{v_{3}} \in V

sind linear unabhängig, siehe

a)

mit

a = b = 1

Ausserdem gilt:

(\vec{v_{2}} + \vec{v_{3}}), \vec{v_{2}} \in V

sind linear unabhängig, denn in

V

gelten sowohl:

\vec{v_{2}} + \vec{v_{3}} = \vec{v_{3}} + \vec{v_{2}}

als auch

\vec{v_{2}}, \vec{v_{3}}

sind linear unabhängig

\Leftrightarrow \vec{v_{3}}, \vec{v_{2}}

sind linear unabhängig

Unter Verwendung der Aufgabenstellung

a)

und den linear unabhängigen Ausgangsvektoren

\vec{v_{3}}, \vec{v_{2}}

sind auch die Vektoren

(\vec{v_{3}} + \vec{v_{2}}), \vec{v_{2}}

linear unabhängig.

Mit

\vec{v_{1}} := \vec{v_{2}} + \vec{v_{3}}

erfüllen demzufolge die Vektoren

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}

und

\vec{v_{3}}

die Voraussetzung zur paarweisen linearen Unabhängigkeit. Aber es gilt:

- \vec{v_{1}} + \vec{v_{2}} + \vec{v_{3}} = - (\vec{v_{2}} + \vec{v_{3}}) + \vec{v_{2}} + \vec{v_{3}} = - \vec{v_{2}} - \vec{v_{3}} + \vec{v_{2}} + \vec{v_{3}} = \vec{0}

und

- \vec{v_{1}} + \vec{v_{2}} + \vec{v_{3}}

ist eine nichttriviale Linearkombination der drei Vektoren

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}

und

\vec{v_{3}},

die somit zusammen nicht linear unabhängig sind!

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23:29 Uhr, 23.05.2018

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Jetzt blick ichs durch das war echt eine große Hilfe :-)

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