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Hallo, komme bei der Aufagbe a und nicht weiter. Bitte um Hilfe. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Parallelverschiebung Rechnen mit Vektoren - Einführung Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten Skalarprodukt |
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Hallo, Angenommen, die Vektoren . wären nicht linear unabhängig, dann gäbe es eine nichttriviale Linearkombination: . mit für alle . . Fall 1: In dieser nichttrivialen Linearkombination ist Mindestens ein mit und . . Es existierte bereits eine nichttriviale Linearkombination für die Vektoren . und diese waren nicht linear unabhängig. Das ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass die Vektoren . linear unabhängig sind. Fall 2: In dieser nichttrivialen Linearkombination ist Nach Division durch . Das ist, wegen eine nichttriviale Linearkombination der Vektoren . . Das ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass die Vektoren . linear unabhängig sind. Da in beiden Fällen der vollständigen Fallunterscheidung ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass die Vektoren . linear unabhängig sind entsteht, muss die Annahme, dass die Vektoren . nicht linear unabhängig sind, falsch gewesen sein. Also sind die Vektoren . linear unabhängig. Gegenbeispiel: mit 1 das Einselement aus und 0 das Nullelement aus Oder besser noch allgemein unter Verwendung von Seien linear unabhängig, dann gilt: sind linear unabhängig, siehe mit Ausserdem gilt: sind linear unabhängig, denn in gelten sowohl: als auch sind linear unabhängig sind linear unabhängig Unter Verwendung der Aufgabenstellung und den linear unabhängigen Ausgangsvektoren sind auch die Vektoren linear unabhängig. Mit erfüllen demzufolge die Vektoren und die Voraussetzung zur paarweisen linearen Unabhängigkeit. Aber es gilt: und ist eine nichttriviale Linearkombination der drei Vektoren und die somit zusammen nicht linear unabhängig sind! |
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Jetzt blick ichs durch das war echt eine große Hilfe :-) |