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Lineare autonome DGL: Fundamentalsystem

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: autonome DGL, Fundamentalsystem, Gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare DGL, Matrixexponentialfunktion

Lyla93 aktiv_icon

17:06 Uhr, 09.12.2017

Gegeben: DGL

\dot{x} = (\begin{array}{rcl} 0 & a \\ - a & 0 \end{array}) x

. Gesucht ist das zugehörige Fundamentalsystem und ob die Lösung konstant, periodisch oder injektiv ist.

Meine Ideen: Die DGL ist autonom, homogen und linear. D.h. das Fundamentalsystem berechnet sich über die Matrixexponentialfunktion. Wenn die Matrix von oben (ich nenne sie mal A) diagonalisierbar ist (also geometr. VFH = algebr. VFH) dann braucht man für das Fundamentalsystem nur die Eigenwerte und Eigenvektoren.

1) Berechnung der Eigenwerte und -vektoren:

b_{1}, b_{2}

ergibt:

b_{1} = i a, b_{2} = - i a

. Für die zugehörigen Eigenvektoren

v_{1}, v_{2}

komme ich auf:

v_{1} = (1, i), v_{2} = (1, - i) .

2) Da ich eine 2x2 Matrix habe und zu je einem meiner zwei Eigenwerte einen Eigenvektor gefunden habe, gilt: Geometrische VFH = algebraische VFH und damit ist A diagonalisierbar.

3) Dann gilt also:

e^{A t} = (\begin{array}{rcl} e^{b_{1} t} v_{1} & 0 \\ 0 & e^{b_{2} t} v_{2} \end{array})

.

Weiter komme ich jetzt irgendwie nicht... Wie kann ich denn bestimmen, ob meine Lösung konst., periodisch oder injektiv ist? Ich habe schon öfter gesehen dass dann das komplexe System in ein reelles umgewandelt wurde und dann sinus/cosinus ins Spiel kam. Doch wie funktioniert das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

23:26 Uhr, 09.12.2017

Hallo
den Satz "D.h. das Fundamentalsystem berechnet sich über die Matrixexponentialfunktion."
wenn du die eigenwerte und EigenVektoren hast ist dein Fundamentalsystem doch

x = C_{1} \cdot v_{1} \cdot e^{b_{1} \cdot t} + C 2 \cdot v_{2} \cdot e^{b_{2} \cdot t}

b_{1,2} = \pm i \cdot a

ist sind die dazugehörigen reellen Lösungen sin (at), cos(at) falls a reell , ist a imaginär so hast du reine

e

Funktionen also objektiv, konstant seh ich nicht ausser

a = 0

Gruß ledum

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