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Lineare diophantische Gleichung lösen

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

BabsSchnaps aktiv_icon

00:26 Uhr, 30.11.2011

Hallo, ich habe ein Problem bei einer Aufgabe: Bei einem Konzert bezahlen Erwachsene 19€ und Jugendliche 17€. Insgesamt wurden 1000€ eingenommen.
Ich habe also die Gleichung

13 x + 19 y = 1000

aufgestellt.
Als spezielle Lösung habe ich xo=-2000 und

y 0 = 3000

Die allgemeine Lösungsmenge:

- 2000 + 13 k, 3000 - 19 k

Wenn ich die Lösungsmenge jetzt auf positive Zahlen beschränke, es wurde ja nur eingenommen, nichts ausgegeben, dann komme ich auf

- 2000 + 13 k > 0,

wenn

k \geq 154

3000 - 19 k < 0,

wenn

k \geq 158

Also nur Lösung in

N 0 x N 0

für

k = 154, 155, 156

und

157

Leider stimmt das aber nicht, denn zum Beispiel für

k = 156

ergäbe das

28

Jugendliche,

36

Erwachsene

13 \cdot 28 + 19 \cdot 36

ist leider

= 1048

und nicht

1000

Kann mir jemand helfen?

Bamamike aktiv_icon

01:04 Uhr, 30.11.2011

Bezahlen Jugendliche nun 17€ oder 13€?

michaL aktiv_icon

01:06 Uhr, 30.11.2011

Hallo,

betrachte doch mal die Gleichung

13 x + 19 y = 1000

jeweils einmal modulo 13 und einmal modulo 19.
Es ergeben sich

6 y \equiv 12

mod 13 und

13 x \equiv 12

mod 19

Multipliziere mit den jeweiligen Inversen. Ergibt:

y \equiv 2

mod 13

x \equiv 17

mod 19

Aufgrund der Tatsache, dass

x \leq 76 \approx \frac{1000}{13}

und

y \leq 52 \approx \frac{1000}{19}

gelten muss, kommen infrage für

x

: 17; 36; 55; 74

y

: 2; 15; 28; 41

Damit ist das Probieren auf 16 Möglichkeiten eingeschränkt. Betrachtest du die Ausgangsgleichung noch modulo 2, so kannst du weiter einschränken (

x

und

y

entweder beide gerade oder beide ungerade), weshalb nur noch 8 Möglichkeiten übrig bleiben. Hier würde ich aufhören, weitere Möglichkeiten auszuschließen und mit dem Nachrechnen anfangen.
Am besten eignet sich meiner Meinung nach eine Tabellenkalkulation, mit der man berechnet, ob

1000 - 13 \cdot 17

durch 19 teilbar ist. Dadurch bleiben am Ende nur wenige Paare übrig: die Lösungen (ich hab also mindestens zwei).
Natürlich könntest du auch die Gleichung modulo 10 betrachten, wodurch du über die letzten Stellen von

x

und

y

Klarheit bekommst:

3 x - y \equiv 0

mod 10, d.h. bei der Lösung muss

10 ∣ 3 x - y

gelten.

Mfg Michael

BabsSchnaps aktiv_icon

09:37 Uhr, 30.11.2011

Ich bin leider ein totaler Matheanfänger. Ich kann die Sachen immer nur so lösen, wie ich sie beigebracht bekomme ;-). Zumal ich die Aufgabe aber auch mit einer lineare diophantischen Gleichung lösen muss.
Ich werd mir das aber nachher mal genauer anschauen, vielleicht kann es mir ja trotzdem helfen den Fehler in meinem Lösungsweg zu finden. Auf jeden Fall schon mal Dankeschön für die nächtliche Hilfe.

Ach, übrigens 13€. Das war ein Tippfehler in der ersten Zeile.

pwmeyer aktiv_icon

12:29 Uhr, 30.11.2011

Hallo,

Du hast bei Deiner Probe die Zahlen für Jugendliche und Erwachsene verwechselt.

Gruß pwm

BabsSchnaps aktiv_icon

13:02 Uhr, 30.11.2011

Perfekt! Ich wusste der Fehler war banal, aber ich hab ihn trotzdem nicht gefunden. Danke!

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