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Lineare funktionen,textaufgabe

Schüler Berufsschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Linear Funktion, Textaufgabe

jello89 aktiv_icon

13:18 Uhr, 19.08.2012

aufgabe: eine badewanne ist mit

46

cm wasserhöhe randvoll gefüllt. die tochter hatte vergessen den wasserhahn abzudrehen,aber es gerade noch rechtzeitig bemerkt, bevor die badewanne überlief. nun zieht sie den stöpsel,um die wasserhöhe um

16

cm zu erniedrigen. dabei fließen 5 cm pro minute ab.

a

. bilden sie einen term,mit dem sie die wasserstände zu unterschiedlichen zeiten berechnen können

b

. wie hoch sind die wasserstände nach jeweils

0 min,2,5 min, 7 min

bzw.

12 min .

?

bräuchte dringend hilfe bei der aufgabe

A,

da ich nicht verstehe, wie daraus ein term entstehen soll.kann mir einer helfen???:-(

aufgabe

b

. könnte ich dannach (hoffentlich) selbst errechnen.

vIELEN VIELEN dank im vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CKims aktiv_icon

13:47 Uhr, 19.08.2012

geradengleichung...

y = m x + b

1. welche hoehe muss unsere funktion fuer den zeitpunkt

x = 0

ausspucken? welche zahl ergibt sich dadurch schonmal fuer b?

2. was ist die bedeutung von m? steht dazu nicht schon was im text?

jello89 aktiv_icon

13:57 Uhr, 19.08.2012

1. welche hoehe muss unsere funktion fuer den zeitpunkt

x = 0

ausspucken? welche zahl ergibt sich dadurch schonmal fuer b?

46cm

2.das verstehe ich ja nun mal leider nicht:-(

anonymous

14:54 Uhr, 19.08.2012

Die Steigung einer linearen Funktion bzw. Geraden lässt sich normalerweise folgendermaßen berechnen:

m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Das bedeutet im prinzip nichts anderes als: Wie stark verändert sich der Funktionswert

y,

wenn man die Variable

x

ändert.

In diesem Fall ist der Funktionswert die Höhe

h

und die Variable die Zeit

t

. Daher berechnet sich hier die Steigung folgendermaßen:

m = \frac{Δ h}{Δ t}

Nun zur passenden Angabe im Text:
"dabei fließen 5 cm pro Minute ab"

Das bedeutet also, dass beim Vergehen der Zeitdifferenz

Δ t = 1 m i n

die Höhe sich um

Δ h = - 5 c m

verändert. (Das Minus vor der 5 bedeutet das der Wasserstand sinkt, statt zu steigen.)

Somit gilt für die Steigung der linearen Funktion, welche insbesondere bei der Zeit als Variable oftmals passenderweise auch Änderungsrate genannt wird:

m = \frac{Δ h}{Δ t} = \frac{- 5 c m}{1 m i n} = - 5 \frac{c m}{m i n}

Damit ergibt sich also für die Funktionsgleichung:

h (t) = m \cdot t + h_{0}

h (t) = - 5 \frac{c m}{m i n} \cdot t + 46 c m

Bzw. werden in der Mathematik die Einheiten während der Rechnung oftmals weggelassen, da es so übersichtlicher ist.

h (t) = - 5 \cdot t + 46

Im Anhang befindet sich auch noch ein Bild zur Veranschaulichung.

Ich hoffe das war verständlich und du hast dich nicht davon stören lassen, dass bei mir

t

statt

x

steht. Im Prinzip kann man da natürlich auch

x

schreiben, doch wird die Zeit normalerweise eher mit

t

bezeichnet.

jello89 aktiv_icon

21:55 Uhr, 19.08.2012

aber ich verstehe nicht wieso

h (t) = - 5 \cdot t + 46

also dieses

H (t)

? wie kommt das zustande?

jello89 aktiv_icon

22:09 Uhr, 19.08.2012

Ich habe nochmal ne frage und zwar zu aufgabe

b

.

habe nun folgendes ausgerechnet, um die Höhe in cm nach

2,5 min

und

7 min

zu errechnen:

1) h (2,5) = - 5 \cdot 2,5 + 46

2,5 h = - 12,5 + 46

h = 13,4

h (7) = - 5 \cdot 7 + 46

7 h = - 35 + 46

7 h = 11

h = 1,57 ...

.

aber das kann ja nicht sein?:S kann mir irgendjemand helfen?:(

anonymous

00:51 Uhr, 20.08.2012

Wie das

h (t)

zusatande kommt?

Die Funktion sollte eine lineare Funktion sein.
(Warum genau, darauf gehe ich jetzt nicht ein und ist jetzt auch nicht so wichtig.)
Jedenfalls sollte klar sein, dass

h (t)

folgende Form aufweisen muss:

h (t) = m \cdot t + h_{0}

Zum Zeitpunkt

t = 0

soll die Höhe

46 c m

betragen:

h (0) = 46 c m

m \cdot 0 + h_{0} = 46 c m

h_{0} = 46 c m

Damit ist ein Parameter der Funktion gefunden:

h (t) = m \cdot t + 46 c m

Nun fehlt noch die Änderungsrate/Steigung

m

. Wie man diese erhält habe ich schon in meinem letzten Beitrag beschrieben. Im Prinzip kann man diese auch direkt aus dem Text ablesen:

m = - 5 \frac{c m}{m i n}

Alternativ könnte man natürlich auch umständlich sagen, dass nach einer Minute der Wasserstand um 5 cm gesunken sein muss, und damit nur noch

41

cm beträgt:

h (1 m i n) = 41 c m

m \cdot 1 m i n + 46 c m = 41 c m

m \cdot 1 m i n = - 5 c m

m = - 5 \frac{c m}{m i n}

Wenn man also neben

h_{0}

auch

m

einsetzt, erhält man:

h (t) = - 5 \frac{c m}{m i n} \cdot t + 46 c m

Wenn das jetzt immer noch nicht verständlich ist, muss dir leider jemand aderes weiterhelfen.

Zur

b) :

Das

t

in den Klammern wird nicht mit dem

h

davor multipliziert.

h (t)

bedeutet nicht "h multipliziert mit t" sondern "h in Abhängigkeit von t"

Bei Funktionen wird oftmals die Variable, von der die Funktion abhängt, hinter dem Bezeichner der Funktion in Klammern angefügt.
Ich hatte beim Verfassen meines letzten Beitrags nicht daran gedacht, dass dir das evtl. nicht bekannt sein könnte.

Also wird das einfach so gerechnet und geschrieben:

h (2,5 m i n) = - 5 \frac{c m}{m i n} \cdot 2,5 m i n + 46 c m

h (2,5 m i n) = - 12,5 c m + 46 c m

h (2,5 m i n) = 33,5 c m

Damit ist die Höhe zum Zeitpunkt

t = 2,5 m i n

gleich

33,5 c m

.

Aber theoretisch kann man auch einfach schreiben:

Zum Zeitpunkt

t = 2,5 m i n

gilt:

h = - 5 \frac{c m}{m i n} \cdot 2,5 m i n + 46 c m

h = - 12,5 c m + 46 c m

h = 33,5 c m

Oder auch ohne Einheiten, die man dann erst in einem Antwortsatz wieder beifügt:

Zum Zeitpunkt

t = 2,5 m i n

gilt:

h = - 5 \cdot 2,5 + 46

h = - 12,5 + 46

h = 33,5

Nach

2,5 m i n

beträgt die Höhe

33,5 c m

.

Die Funktions-Schreibweise ist übrigens recht nützlich, da man so immer gleich weiß, dass mit

h (2,5 m i n)

die Höhe zum Zeitpunkt

t = 2,5 m i n

gemeint ist. Hätte man dagegen nur

h = 33,5 c m

stehen, wüsste man nicht ohne weiteres zu welchem Zeitpunkt dies denn nun der Fall ist.

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