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Lineare und bijektive Abbildung

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: bijektive Abbildung, duale basis, Körper, Linear Abbildung, Vektorraum

mariem aktiv_icon

08:36 Uhr, 30.08.2018

Hallo,

Seien $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ , $V^{⋆} := H o m (V, K)$ sein Dualraum, $B = {b_{1}, \dots, b_{n}}$ eine Basis von $V$ sowie $B^{⋆} := {b_{1}^{⋆}, \dots, b_{n}^{⋆}}$ die dazu duale Basis von $V^{⋆}$ .

Für $v \in V$ sei $Ψ (v) : V^{⋆} \to K$ die Linearform auf $V^{⋆}$ , die durch $\forall ℓ \in V^{⋆} : Ψ (v) (ℓ) := ℓ (v)$ gegeben ist.

Wir betrachten die Abbildung $Ψ : V \to V^{⋆ ⋆} := H o m (V^{⋆}, K)$ , $v \mapsto Ψ (v)$ .
Ich will zeigen dass diese Abbildung linear und bijektiv ist.

Seien $ℓ \in V^{⋆}$ , $v, v_{1}, v_{2} \in V$ , $a \in K$ . (Sind das die richtige Elemente die wir betrachten?)

Also wir haben dass $Ψ$ eine Linearform ist wenn wir die $Ψ (v) : V^{⋆} \to K$ betrachten, und wollen zeigen dass es auch so ist wenn wir $Ψ : V \to V^{⋆ ⋆} := H o m (V^{⋆}, K)$ betrachten, oder?

Wir haben folgendes:
$Ψ (v_{1} + v_{2}) (ℓ) = ℓ (v_{1} + v_{2})$
$Ψ (v_{1}) (ℓ) + Ψ (v_{2}) (ℓ) = ℓ (v_{1}) + ℓ (v_{2})$

Wie folgt die Gleichheit?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

ermanus aktiv_icon

08:43 Uhr, 30.08.2018

Hallo,
deine $l$ sind linear.
Gruß ermanus

mariem aktiv_icon

08:46 Uhr, 30.08.2018

Gilt es weil $ℓ \in V^{⋆} = H o m (V, K)$ ? Aber warum genau?

ermanus aktiv_icon

08:48 Uhr, 30.08.2018

Ja, deswegen heißen die Elemente von $V^{*}$ Linear(!)formen.

mariem aktiv_icon

08:50 Uhr, 30.08.2018

Also die Elemente $ℓ$ sind Linearformen oder $Ψ (v)$ ?

ermanus aktiv_icon

08:55 Uhr, 30.08.2018

Die $H o m$ -Mengen bestehen nach Definition immer aus linearen Abbildungen.
$H o m (V . W)$ ist die Menge aller linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ ,
also sind $V^{*} = H o m (V, K)$ und $V^{* *} = H o m (V^{*}, K)$ Mengen von linearen Abbildungen,
und da diese in $K$ landen, nennt man sie Linearformen.

mariem aktiv_icon

09:05 Uhr, 30.08.2018

Warum nennt man die Abbildungen Linearformen wenn diese in $K$ landen?

Wir haben dann
$Ψ (v_{1} + v_{2}) (ℓ) = ℓ (v_{1} + v_{2}) = ℓ (v_{1}) + ℓ (v_{2}) = Ψ (v_{1}) (ℓ) + Ψ (v_{2}) (ℓ)$ , da $ℓ$ eine Linearform ist, richtig?

Ausserdem haben wir $Ψ (a v) (ℓ) = ℓ (a v) = a ℓ (v)$ , da $ℓ$ eine Linearform ist, richtig?

Somit ist $Ψ$ eine lineare Abbildung.

Um zu zeigen dass die Abbildung bijektiv ist, muss man zeigen dass diese injektiv und surjektiv ist.

Der Kern der Abbildung ist: $\ker Ψ = {v \in V ∣ Ψ (v) = 0} = {v \in V ∣ ℓ (v) = 0}$ . Wie kann man das weiterberechnen?

ermanus aktiv_icon

09:30 Uhr, 30.08.2018

Eine lineare oder multilineare Abbildung eines Vektorraumes in den Skalarkörper
heißt grundsätzlich eine Form, also eine Liniearform oder eine Multilinearform.
Woher dieser Begriff kommt, habe ich nicht so schnell herausbekommen können,
er war aber bereits im 19. Jahrhundert (z.B. auch bei Gauss) üblich.
Eine Determinante ist z.B. eine alternierende Multilinearform.

Den Nachweis der Linearität von $Ψ$ solltest du noch ergänzen:

$. . . = (Ψ (v_{1}) + Ψ (v_{2})) (l)$ . Dies gilt für alle $l \in V^{*}$ , also
$Ψ (v_{1} + v_{2}) = Ψ (v_{1}) + Ψ (v_{2})$ .

Entsprechend:

$. . . = a (Ψ (v) (l)) = (a Ψ (v)) (l)$ . Dies gilt für alle ...

Um den Kern zu bestimmen, gehst du geschickter so vor:
$v \in \ker Ψ \Rightarrow Ψ (v) = 0 \Rightarrow Ψ (v) (l) = l (v) = 0 \forall l \in V^{*}$ .
Dies muss dann auch i.B. für alle $l \in B^{*}$ gelten:
$\Rightarrow b_{1}^{*} (v) = 0, \dots, b_{n}^{*} (v) = 0$ .

Nun stelle $v$ als Linearkombination der Basiselemente aus $B$ dar:
$v = c_{1} b_{1} + \dots + c_{n} b_{n}$ . Nun müsstest du weiter kommen.

mariem aktiv_icon

13:00 Uhr, 30.08.2018

Warum muss dann auch für alle $ℓ \in B^{⋆}$ gelten dass $b_{1}^{⋆} (v) = 0, \dots, b_{n}^{⋆} (v) = 0$ ?

ermanus aktiv_icon

13:16 Uhr, 30.08.2018

Wegen $B^{*} \subseteq V^{*}$ !

mariem aktiv_icon

14:07 Uhr, 30.08.2018

Betrachten wir dann $Φ (v) = 0$ , also $Φ (c_{1} b_{1} + \dots c_{n} b_{n}) = 0 \Rightarrow c_{1} Φ (b_{1}) + \dots + c_{n} Φ (b_{n}) = 0$ , da $Φ$ linear ist?

Wie kann man weiter machen?

ermanus aktiv_icon

14:09 Uhr, 30.08.2018

Nein. Wir nutzen, dass die $B^{*}$ eine Dualbasis zu $B$ ist,
also $b_{i}^{*} (b_{j}) = δ_{i j}$ ist.

mariem aktiv_icon

14:16 Uhr, 30.08.2018

Achso! Und $b_{i}^{⋆}$ ist linear und somit haben wir folgendes, oder?

$b_{i}^{⋆} (v) = b_{i}^{⋆} (c_{1} b_{1} + \dots c_{n} b_{n}) = c_{1} b_{i}^{⋆} (b_{1}) + \dots c_{n} b_{i}^{⋆} (b_{n}) = c_{i}$

ermanus aktiv_icon

14:17 Uhr, 30.08.2018

Genau ;-)

mariem aktiv_icon

14:21 Uhr, 30.08.2018

Das gilt für alle $i$ .

Somit folgt es dass $c_{1} = \dots = c_{n} = 0$ und daher haben wir dass $v = 0$ . Also im Kern ist nur das Nullelement enthalten. Davon folgt es dass die Abbildung injektiv ist.

Ist bisher alles richtig?

Wie bekommt man die Surjektivität der Abbildung?

ermanus aktiv_icon

14:42 Uhr, 30.08.2018

Ein injektiver Homomorphismus $V \to W$
zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen derselben
Dimension ist automatsch surjektiv.

mariem aktiv_icon

14:53 Uhr, 30.08.2018

Ok! Ich verstehe! Vielen Dank!!

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