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Lineares Ausgleichsproblem

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Skalarprodukte

Tags: Lineares Ausgleichsproblem, Matrizenrechnung, Normalengleichung, Skalarprodukt

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17:07 Uhr, 22.04.2019

Folgende Aufgabe:

Vor.:

A \in ℝ^{m \times n}

mit

r a n g (A) = n

und

n \leq m

b \in ℝ^{m}

c \in ℝ^{n}

Beh.: Die Probleme (1) und (2) haben genau eine Lösung, gegeben durch die Lösung von

(\begin{array}{rcl} I & A \\ A^{T} & 0 \end{array}) (\begin{array}{rcl} y \\ x \end{array}) = (\begin{array}{rcl} b \\ c \end{array})

.

Problem (1):

m i n_{x \in ℝ^{n}} (\frac{1}{2} \cdot ∣ ∣ A x - b ∣ ∣_{2}^{2} + c^{T} x)

Problem(2):

m i n_{y \in ℝ^{m}} (\frac{1}{2} \cdot ∣ ∣ y - b ∣ ∣_{2}^{2})

mit

A^{T} y = c

___________

Ich habe bisher schon versucht, das umzuschreiben, aber ohne Erfolg, daher fehlt mir komplett der Ansatz. In der VL haben wir bisher das Problem

m i n_{x \in ℝ^{n}} (∣ ∣ A x - b ∣ ∣_{2})

mithilfe der Normalengleichung

A^{T} A x = A^{T} b

gelöst mithilfe der QR-Zerlegung von A.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

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