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Lineares DGL-System

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

rolandgazi aktiv_icon

16:02 Uhr, 29.09.2020

Einen schönen guten Tag wünsche ich euch. Bevor ich versuche, mein Problem zu schildern, gebe ich folgendes (einfaches) Beispiel vor.

{\dot{y}}_{1} (x) = - y_{2} (x)

{\dot{y}}_{2} (x) = 4 y_{1} (x)

"Gesucht ist ein komplexes (a) und ein reelles (b) Fundamentalsystem und die jeweilig allgemeinen Lösungen."
Ich verstehe bzgl. der Schreibweise den Unterschied nicht. Ich bin so vorgegangen:

1. Frage:

χ (λ) = d e t (A - λ E) = λ^{2} + 4 = 0 \Rightarrow λ_{1 ∣ 2} = \pm 2 j

(mit:

α = 0

ω = 2

)

Ab diesem Punkt würde ich intuitiv eine Fundamentalbasis gestalten, doch wenn ich meine ermittelten Eigenwerte (hier:

λ_{1} = 2 j

) kontrollieren möchte, so komme ich auf Folgendes:

(I)

(0 - 2 j) v_{1} - v_{2} = 0

(II)

4 v_{1} + (0 - 2 j) v_{2} = 0

Mulitpliziere ich (I)*(-2j):

4 v_{1} + 2 j v_{2} = 0

4 v_{1} - 2 j v_{2} = 0

Man sieht, dass die Gleichungen nicht identisch sind (Geben wir mal davon aus, dass ich bislang alles gerechnet habe.)

Heißt das nun für dieses Beispiel, dass ich die Eigenwerte falsch ermittelt habe oder ich zwei Fundamentalbasen aufstellen muss?

2. Frage:

y_{1} = C_{1} * s i n (2 x) + C_{2} x * c o s (2 x)

{\dot{y}}_{1} = 2 C_{1} * c o s (2 x) - 2 C_{2} x * s i n (2 x)

y_{2} = 2 C_{2} x * s i n (x) - 2 C_{1} x * c o s (2 x)

Ich verzichte mal,

y_{1}

und

y_{2}

als Lösungsvektor darzustellen.
Ist das dann mein komplexes oder mein reelles Fundamentalsystem oder vielleicht sogar die gesuchte allgemeine Lösung des DGL-Systems? Was habe ich (im Sinne dieser Aufgabenstellung) falsch gemacht bzw. vergessen, anzugeben?

Ich hoffe, dass jemand meinen Denkfehler erkennt und mir evtl. weiterhelfen kann.
Besten Dank an dieser Stelle!

Roland Gazi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Nick76 aktiv_icon

17:49 Uhr, 29.09.2020

Die Eigenwerte sind richtig, allerdings ergibt

(I)

multipliziert mit

(- 2 j)

folgendes:

- 4 \cdot v_{1} + 2 \cdot j \cdot v_{2} = 0

Die Gleichung

(I)

ist damit bis auf eine Multiplikation mit

(- 1)

identisch mit (II).

rolandgazi aktiv_icon

18:02 Uhr, 29.09.2020

Vielen Dank für deine Antwort Nick.
(I) (0-2j)

v_{1}

v_{2}

= 0

- 2 j v_{1} - v_{2} = 0

Mit (-2j) multipliziert:
(I*(-2j))

4 v_{1} + 2 j v_{2} = 0

Ich muss wohl noch das Multiplizieren wieder üben, aber ich sehe nicht, wie ich nicht auf ein Ergebnis gekommen bin.

Aber dieses Problem ist unabhängig davon schon einmal gelöst.
Wenn du mir noch bei Frage 2 helfen kannst, wäre ich dir sehr dankbar! :-)

ledum aktiv_icon

19:08 Uhr, 29.09.2020

Hallo
du hast doch 2 Fundamentallösungen, e^(2ix)

\cdot (1,2 i)

und e(-2ix)*(1.-2i)

(sin (x), cos (x))

und

(cos (x), sin (x))

das

x

bei

c 2 \cdot x

ist falsch, Wenn es da stünde wäre auch

y_{1}'

falsch.
Gruß ledum

rolandgazi aktiv_icon

19:32 Uhr, 30.09.2020

Hallo ledum,

danke dir. Ich hatte wohl noch die e-Funktion im Kopf! :-D)
Blöder Fehler.. Du hast mir damit zwar gut helfen können, meine 2. Frage bleibt weiterhin unbeantwortet.

Nachdem ihr mich freundlicherweise auf meine Fehler aufmerksam gemacht habt, möchte ich gerne wissen, wie ich die Fundamentalsysteme einmal komplex und einmal reell darstellen soll. Ich verstehe den Sinn in dieser Aufgabenstellung nicht ganz.

Warum (bin ich so kurzsichtig)?

Um eine passende Fundamentalbasis bilden zu können, bestimmt man zunächst die Eigenwerte und führt dann quasi eine Fallunterscheidung.

Ein "reelles" Fundamentalsystem wäre für mich der 2. Fall (

λ_{1} = λ_{2} = c

)
Dieser Fall trifft aber hier nicht zu. Demnach wäre ja (wie bereits aufgezeigt) der 3. Fall richtig. Ich verstehe die explizite Unterscheidung in dieser Aufgabenstellung nicht.. Wenn es zu trivial ist, könnt ihr den Beitrag löschen.

ledum aktiv_icon

21:06 Uhr, 30.09.2020

Das komplexe Fundamentalsystem ist

v 1 \cdot e^{2 i}

und

v 2 \cdot e^{- 2 i}

jede Linearkombination von 2 Vektoren des Systems ist auch eine Lösung,

e^{2 i} + e^{- 2 i} =

2cosx also ist

cos x

eine Lösung .
(e^(2i)-e^(-2i))=2sin(x) ist also auch eine Lösung.
(wenn dich das nicht überzeugt, setz es ein)
Grus ledum

anonymous

23:54 Uhr, 30.09.2020

. .

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