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Lineares Gleichungssystem

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Lineares Gleichungssystem

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23:26 Uhr, 06.12.2013

Guten Abend,
ich brauche wieder eure Vorschläge für dieser Aufgabe. Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem vom Typ

(3,3)

Also quadratisches System mit

x - 3 y + z = 5

2 x - 4 y - 3 z = 7

- x + a \cdot y - 6 z = 10

a \in ℝ

ist ein Parameter, welches abhängig ist.

Ich soll zeigen, für welchen Wert von a dieses System nicht lösbar ist und durch welche Zahl ich die Zahl

10

ersetzen müsste, damit für diesen Wert von a das System lösbar wird.

Meine Idee:

Voraussetzung:
-Dieses

(3,3)

System ist schon mal inhomogenen linearen System

A \cdot x = c

-Dieses System ist unlösbar, wenn

det A = 0,

also A ist singulär und Rg(A)

\neq

Rg(A,c) ist

Meine Frage dazu, muss ich beweisen, wenn A unlösbar sein soll, muss A diese Voraussetzung annehmen?
Oder habt ihr ein besseres Idee?

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

Atlantik aktiv_icon

04:33 Uhr, 07.12.2013

Ich würde zuerst das Gleichungssystem lösen und dabei das "a" mitschleppen.

mfG

Atlantik

Respon

07:09 Uhr, 07.12.2013

Die Überlegungen sind korrekt. Da es sich aber hier um ein sehr einfaches System handelt mit "nur" einem Parameter, läßt sich vorerst formal die Lösung berechnen

(z . B

. Cramersche Regel ) mit

x = \frac{2 \cdot (11 \cdot a + 62)}{5 \cdot (a - 5)}

y = \frac{90}{5 \cdot (a - 5)}

z = \frac{3 \cdot (a + 7)}{5 \cdot (a - 5)}

3 Möglichkeiten sind zu untersuchen:

1)

genau eine Lösung

2)

keine Lösung

3)

unendlich viele Lösungen

Es folgt sofort, dass für

a = 5

das LGS keine Lösung besitzt ( da in diesem Fall die jeweiligen Zähler

\neq 0)

Für

a \neq 5

gibt es genau eine Lösung.

Fall

3)

kann niemals eintreten

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12:10 Uhr, 07.12.2013

@Respon
Muss ich unbedingt das Cramersche Regel anwenden?
Ich würde so machen, zunächst Determinante von A berechnen und dann für das Parameter a irgendeine Zahl finden, damit

det A \neq 0

(In diesem Fall existiert eine Lösung) und

det A = 0 \Rightarrow

Rg (A)

\neq

(A, C)

(Keine Lösung) und Rg (A)

\neq

(A, C) = r < n

(unendlich viele Lösungen)

r =

Rang

n =

Unbekannte

Würde das auch ok? Oder findest du das Cramersche Regel weniger Arbeitsaufwand?

MFG

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15:13 Uhr, 07.12.2013

@Atlantik
Deine Idee behalte ich mir im Kopf:-)

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09:45 Uhr, 09.12.2013

Und durch welche Zahl muss ich die Zahl

10

ersetzen, damit der Wert von a das System lösbar wird?

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11:56 Uhr, 10.12.2013

Ich habe jetzt nachgeprüft, für

a = 5

gibt es tatsächlich keine Lösung (das System ist unlösbar). Für

a \neq 5

ist dieses Lösungssystem lösbar. Nun meine Frage ist für den Fall

a \neq 5

ist das System lösbar und gibts es eine Lösung oder?

Danke im Voraus

anonymous

13:01 Uhr, 10.12.2013

Hallo
In der Aufgabenstellung wird schon angeboten, anstelle der letzten "10" einen anderen Wert einzuführen.
Ich empfehle, da ja der Wert später eh noch diskutiert und verändert und variabel gehalten wird, hierfür tatsächlich eine Variable mitzuschleppen.
Ich habe diesen Wert mal

' b'

getauft.

Wenn du gerne mit Determinanten rechnest, dann:

a)

Das LGS ist eindeutig, wenn die Nenner-Determinante ungleich NULL ist.

b)

Das LGS ist unlösbar (widersprüchlich), wenn die Nenner-Determinante gleich NULL und die Zähler-Determinante ungleich NULL ist.

c)

Das LGS ist linear abhängig, wenn sowohl Nenner-Determinante, als auch Zähler-Determinante glich NULL sind.

Na - Tips genug?
PS: Es gibt den Fall

c),

also einen Zahlenwert

' b',

für den das LGS linear abhängig wird.

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14:20 Uhr, 10.12.2013

Hallo cube2,

Ich habe doch Cramescher Regel angewendet:

x = \frac{det (A_{x})}{det (A)} = \frac{124 + 22 a}{- 25 + 5 a}

y = \frac{det (A_{y})}{det (A)} = \frac{90}{- 25 + 5 a}

z = \frac{det (A_{z})}{det (A)} = \frac{21 + 3 a}{- 25 + 5 a}

Daraus erkennt man dass

a = 5

das Gleichungssystem unlösbar ist.

Nun zu deiner Antwort, du meinst etwa, ich soll die dritte Gleichung die Zahl

10

als

b

nennen.Dann sieht die Gleichung dann so aus

- x + a \cdot y - 6 z = b

.

Dann muss ich das Cramescher Regel ändern. Und das sieht dann so etwa aus:

x = \frac{det (A_{x})}{det (A)} = | \begin{matrix} 5 & - 3 & 1 \\ 7 & - 4 & - 3 \\ b & a & - 6 \end{matrix} | = ... .

.

Habe ich dich richtig verstanden?

PS:-D)anke für den Tipps:-)

anonymous

16:52 Uhr, 10.12.2013

"das sieht dann so etwa aus:"

Ja, so ETWA!
du schreibst zwar

\frac{det (A_{x})}{det (A)}

machst dann ein Gleichheitszeichen
und schreibst dann, wenn ich recht verstehe, nur die

det (A_{x})

.

Ich ahne zwar, was du meinst, aber formal richtig ist anders.
Ja - aber ansatzweise richtig die Idee erfasst!
:-)

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17:19 Uhr, 11.12.2013

Hallo cube2,
Du hast Recht. Ich muss

det (A)

auch angeben. Sorry ich war zu schnell:-) ich korriegiere mein vorheriger Beitrag.

x = \frac{det (A_{x})}{det (A)} = \frac{| \begin{matrix} 5 & - 3 & 1 \\ 7 & - 4 & - 3 \\ b & a & - 6 \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 1 & - 3 & 1 \\ 2 & - 4 & - 3 \\ - 1 & a & - 6 \end{matrix} |} = \frac{- 6 + 22 a + 13 b}{- 25 + 5 a} = \frac{104 + 13 b}{0} \Rightarrow b = - 8

Nun haben wir

a = 5

und

b = - 8

. Ich setze sie ein und erhalte ein neues Gleichungssystem

x - 3 y + z = 5

2 x - 4 y - 3 z = 7

- x + 5 y - 6 z = - 8

Die Variablen

x, y

und

z

haben den Wert 0 (Laut Cramescher Regel für

b = - 8)

. Trotzdem hat dieses Gleichungssystem keine Lösung.
Habe ich überhaupt richtig gerechnet?

danke

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12:16 Uhr, 12.12.2013

Ich korrigiere meine vorherige Antwort.

anonymous

23:24 Uhr, 12.12.2013

Korrekt ist: Für

a = 5

und

b = - 8

lautet das Gleichungssystem:
x−3*y+z=5
2*x−4*y−3*z=7
−x+5*y−6*z=−8

Du sagst: "Die Variablen

x, y

und

z

haben den Wert 0."
Falsch! Wieso das denn? Mach mal die Kontrolle, dann siehst du, dass so keine der Gleichungen erfüllt ist.

Richtig wäre die Erkenntnis gewesen:
Für

a = 5

und

b = - 8

werden sowohl Zähler-Determinante, als auch Nenner-Determinante gleich NULL. Davon waren wir doch ausgegangen.
Und - wenn Zähler-Determinante, als auch Nenner-Determinante gleich NULL sind, dann ist das LGS linear abhängig.
Wenn du jetzt noch tüchtig bist, dann zeigst du die lineare Abhängigkeit noch auf. Soll heißen: Errechne den Lösungsvektor aller Lösungen!
Viel Spaß und Erfolg!

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10:57 Uhr, 13.12.2013

@cube2
Das mit dem Zähler-Determinante und Nenner-Determinante gleich Null, habe ich mich schlau gemacht. Wenn Zähler-Determinante und Nenner-Determinante gleich Null sind, hat das LGS unendlich viele Lösungen. Das habe ich vergessen, hier zu korrigieren. Ich bin bloß

\frac{0}{0} = 0

ausgegangen und dachte, dass das LGS unlösbar ist. Aber wie du schon gesagt hast, gibt es gar keinen Sinn.
Ah und zu Cramescher-Regel.Ich habe gelesen, das Cramescher-Regel ist nur anwendbar, wenn

det (A) \neq 0

ist. Und das ist nicht der Fall, deswegen habe ich das neue LGS mit dem Gaußschen Algorithmus nachgerechnet. Und der Gaußschen Algorithmus sagt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat.

anonymous

11:17 Uhr, 13.12.2013

Ja, wie gesagt, das LGS ist linear abhängig.
Ich weiß jetzt nicht, wie genau deine (Haus-) Aufgabe lautet.
Aber ich hätte jetzt vorgeschlagen:
"Wenn du jetzt noch tüchtig bist, dann zeigst du die lineare Abhängigkeit noch auf. Soll heißen: Errechne den Lösungsvektor aller Lösungen!
Viel Spaß und Erfolg!"

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11:37 Uhr, 13.12.2013

@cube2
Die Aufgabe lautet:

a)

für welchen Wert von a ist dieses System unlösbar?

b)

durch welche Zahl müsste man die Zahl

10

ersetzen, damit für diesen Wert von a das System lösbar wird

c)

ist dann die Lösungsmenge einelementig?

für

a)

das LGS ist unlösbar, wenn

a = 5

ist. Damit ist der Nenner-Determinante in diesem Fall gleich Null. Daraus folgt, dass das LGS unlösbar ist.

b)

wenn

a = 5

ist, muss die Zahl

10

durch

- 8

ersetzt werden, damit das LGS lösbar wird. Das haben wir ja gemacht.

c)

Wenn

a = 5

und

b = - 8

ist, ist die Lösungsmenge nicht einelementig, sondern sie hat unendlich viele Lösungen.
Für

a \neq 5

hat die Lösungsmenge eine eindeutige Lösung.

danke

anonymous

15:38 Uhr, 13.12.2013

Ja, die Hausaufgaben

a) - c)

sind soweit richtig.

Zum einen:
Du hast den Thread immer noch auf Status: 'offene Rückfragen'.
Hast du noch Unsicherheiten oder Rückfragen?

Zum anderen:
Der Hergang dieser Erkenntnisse zeigt, dass dir Übung noch gut tut.
Willst du dich damit begnügen, die Hausaufgaben wort-wörtlich gelöst zu haben? Und wenn in der Klassenarbeit dann der Schwierigkeitsgrad ein wenig angehoben wird, dann stehst du an...
Ich als interessierter Schüler fände es auch noch ein wenig unbefriedigend, zwar erkannt zu haben, dass es unendlich viele Lösungen gibt, aber keine einzige davon benannt zu haben!

: - (

Also, ich als dein Lehrer würde dir noch eine Ergänzungs-Aufgabe empfehlen:

d)

Wenn du jetzt noch tüchtig bist, dann zeigst du die lineare Abhängigkeit noch auf. Soll heißen: Errechne den Lösungsvektor aller Lösungen!

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14:51 Uhr, 14.12.2013

@cube2
Du hast vollig Recht. Ich brauche noch mehr Übung. Übung macht den Meister:-)
Wenn ich die Zeit habe, werde ich mal deine Ergänzungs-Aufgabe anschauen und berechnen.
Soweit ist diese Frage beantwortet. Ich danke dir. Deine Hilfe hat mir sehr gut getan:-)

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