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Lineares Gleichungssystem

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Tags: Lineare Gleichungssysteme

schalkeboy aktiv_icon

01:35 Uhr, 08.12.2015

Ich soll folgendes inhomogene LGS lösen.

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0 \end{matrix})

Es gilt ja :

Allgeimeine Lösung von inhomogen LGS :=allgeimene Lsg von homogen LGS

+

spezielle Lsg von inhomogen

1)

allgeime Lsg von homogoenen:

hab ich berechnet:

L_{0} = {α \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + β \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), α, β \in ℝ}

2)

spezielle Lsg von inhomogen LGS

nun hier ist mein Problem. Ich weiss nicht was eine "spezielle" Lsg von inhomogen LGS ist. also wie berechne ich die spezielle Lösung vom inhomogenen LGS.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

01:39 Uhr, 08.12.2015

Hallo
du hast

0 \cdot x_{4} = 0

also

x_{4}

beliebig wir nennen es

r

dann

x 2 + r = 1

x_{2} = 1 - r

dann

x 1 + 1 - r + x 3 + r = 1

x 1 + x_{3} = 0 x_{3} = s x_{1} = - s

Gruß ledum

kunkka

02:00 Uhr, 08.12.2015

Nachdem man von der ersten Zeile die dritte subtrahiert hat, kommt man auf diese Gleichungen:

I)

x_{1} = 0 - x_{3}

II)

x_{2} = 1 - x_{4}

III)

x_{3} = 0 + s

IV)

X_{4} = 0 + t

Ich habe in den Gleichungen Nullen ergänzt, damit die Spezielle Lösung besser ersichtlich wird.

Als Lösungsmenge also:

L = {(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) | s, t \in ℝ}

schalkeboy aktiv_icon

02:08 Uhr, 08.12.2015

Aber laut formel müssen wir doch die allgemeine lösung von homogenen und die spezielle lösung vom inhomogenen addieren.

Also müssen wir ja noch

L_{0} + L

machen oder??

kunkka

02:34 Uhr, 08.12.2015

Nein, ich habe die gesamte Lösungsmenge angegeben.

Der erste Vektor ist die spezielle Lösung und den habe ich bereits zu der homogenen Lösungsmenge addiert.

schalkeboy aktiv_icon

14:15 Uhr, 08.12.2015

also ist die spezielle Lösung

: (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

?

wieso sind jetzt die vektoren

s

und

t

identisch mit der Lösung von

L_{0}

? also mit den vektoren

α

und

β

oben.

es ist ja dann unnötig die Lösung vom homogenen LGS zu lösen , denn die LSG vom homogenen LGS haben wir ja auch in der allgemeinen Lösung von inhomogenen Lösung enthalten oder?

Bummerang

16:33 Uhr, 08.12.2015

Hallo,

"also ist die spezielle Lösung

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

?"

Es gibt nur bei eindeutig lösbaren Gleichungssystemen DIE spezielle Lösung! Ansonsten gibt es immer unendlich viele spezielle Lösungen oder gar keine bei unlösbaren Gleichungssystemen und Du musst EINE spezielle Lösung angeben. Wenn Du Dir Dein Gleichungssystem ansiehst, dann siehst Du, dass die rechte Seite gleich den Spalten für

x_{2}

und

x_{4}

entspricht. Da sieht man sofort, dass

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

spezielle Lösungen sind. Aber auch

(\begin{matrix} 0 \\ α \\ 0 \\ 1 - α \end{matrix})

mit

α \in ℝ

ist eine spezielle Lösung. Da es jede dieser Lösungen tut, wird man sich für eine mit vielen Nullen entscheiden, also nicht unbedingt für die letzte hier gezeigt Version mit

α \notin {0,1},

denn für

α \in {0,1}

gibt es ja die beiden ersten Lösungen.

Im Normalfall wirst Du eine spezielle Lösung aber nicht so leicht ablesen können. Dann hilft es, den Gauss-Algorithmus weiter anzuwenden, so dass man am Ende statt der Trapezform (also der Dreiecksform vorn) vorn eine Diagonalform hat. Bei Dir ergibt das

z . B

. den zusätzlichen Schritt, dass man die zweite Zeile von der ersten abzieht. Das ergibt dann:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix})

Wenn dann in der Diagonalen so wie jetzt bei Dir alles nur noch 1-en stehen, dann kannst Du auf der rechten Seite, verlängert um die korrekte Anzahl von Nullen, eine spezielle Lösung ablesen. Bei Dir steht rechts

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}),

also ein Element des

ℝ^{3}

. Du brauchst aber eines des

ℝ^{4},

also musst Du um eine Null verlängern zu

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

. Und das ist die spezielle Lösung, die Dir hier ja auch schon mal angeboten wurde.

schalkeboy aktiv_icon

18:03 Uhr, 08.12.2015

@Bummerang
"Es gibt nur bei eindeutig lösbaren Gleichungssystemen DIE spezielle Lösung!"

aber das beispiel von mir ist doch nicht eindeutig lösbar, da der rang

= 3 < 4

jedoch haben wir eine spezielle Lösung

Bummerang

10:47 Uhr, 09.12.2015

Hallo,

natürlich haben wir eine spezielle Lösung aber DIE spezielle Lösung existiert nicht, weil diese Lösung nicht eindeutig ist. Du musst Dir angewöhnen mathematisch exakt zu sprechen und wenn es geht aus so zu denken! Wenn Du von "die spezielle Lösung" sagst, dann meinst Du in der Mathematik nicht nur diese eine Lösung sondern Du sagst gleichzeitig, dass es keine weitere Lösung mehr gibt. Und das ist hier nicht der Fall, weil es mehrere spezielle Lösungen gibt. Deshalb darf man nicht "die spezielle Lösung" sagen, sondern muss von "einer speziellen Lösung" reden, eine unter unendlich vielen.

schalkeboy aktiv_icon

13:38 Uhr, 09.12.2015

vielen dank

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