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Lineares Gleichungssystem mit n Veränderlichen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: LGS, Lineares Gleichungssystem, Matrizenrechnung, Veränderlichen

Dreemer aktiv_icon

17:37 Uhr, 14.10.2017

Hallo,

wie der Titel verrät geht es hier um ein Problem, welches ich irgendwie nicht hinkriege, welches sich auf ein LGS bezieht. Im Folgenden wird die Aufgabe dargestellt.

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Es sei

n

eine natürliche Zahl. Bestimmen Sie die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems in

n

Veränderlichen:

x_{1} + x_{2} = 0

x_{2} + x_{3} = 0

.
.
.

x_{n - 1} + x_{n} = 0

x_{n} + x_{1} = 0

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Habe die Aufgabe auch als Bild hier angehängt, falls die Schreibweise hier undeutlich sein sollte.
Ich bin mir nicht sicher, welchen Ansatz ich verwenden soll und hoffe daher auf eine Rückmeldung.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

kiki99 aktiv_icon

18:03 Uhr, 14.10.2017

Als Beispiel mit

n = 4 :

x_{1} + x_{2} = 0 \Rightarrow x_{2} = - x_{1}

x_{2} + x_{3} = 0 \Rightarrow x_{3} = - x_{2} = x_{1}

x_{3} + x_{4} = 0 \Rightarrow x_{4} = - x_{3} = x_{2} = - x_{1}

x_{4} + x_{1} = 0 \Rightarrow x_{1} = - x_{4} = x_{3} = - x_{2} = x_{1}

Die Lösung ist also

z . B

L = {(\begin{matrix} x_{1} \\ - x_{1} \\ x_{1} \\ - x_{1} \end{matrix})}

Dreemer aktiv_icon

18:10 Uhr, 14.10.2017

Hallo,
vielen Dank für die schnelle Rückmeldung!
Gibt es aber eine Möglichkeit, die Lösung so hinzuschreiben, dass das

n

in die Lösungsmenge eingefügt werden kann? Der Prozess ändert sich ja im Grunde genommen

n

-mal.
Jede

n

-te Änderung führt zu

x_{1}

und jede

2 \cdot n

-te Änderung zu

- x_{1}

.

Liebe Grüße

ermanus aktiv_icon

18:27 Uhr, 14.10.2017

Hallo,

ich würde mir den Fall

n = 3

nochmal anschauen, vielleicht ist ja doch ein bisschen
anders?

Gruß ermanus

Dreemer aktiv_icon

18:49 Uhr, 14.10.2017

Hallo,

ich sehe, was Sie meinen.

Wenn man

n = 3

einsetzt, dann erhält man letztendlich

x_{1} + x_{2} = 0 \Leftrightarrow x_{2} = - x_{1}

x_{2} + x_{3} = 0 \Leftrightarrow x_{3} = - x_{2} = x_{1}

x_{3} + x_{1} = 0 \Leftrightarrow x_{3} = - x_{1} = x_{2}

\Rightarrow x_{1} = x_{2} \land x_{2} = - x_{1}

\Rightarrow x_{1} = - x_{1} \Leftrightarrow 1 = - 1

Dafür würde man eigentlich kein Ergebnis kriegen.

Für jedes

1 \cdot n

erhält man somit eigentlich kein Ergebnis,
während für jedes

2 \cdot n

das bereits oben genannte Ergebnis herauskommen soll und das in

2 \cdot n

Schritten.
Geht dieser Ansatz in die richtige Richtung?

Liebe Grüße

ermanus aktiv_icon

18:52 Uhr, 14.10.2017

Oh, man bekommt durchaus ein Ergebnis:

x_{1} = - x_{1} \Rightarrow x_{1} = 0

, etc..

Dreemer aktiv_icon

19:14 Uhr, 14.10.2017

Achso, stimmt. Ich hätte mit

x_{1}

addieren sollen und anschließend mit 2 dividieren, damit ich auf

x_{1} = 0

komme. Ich habe jedoch mit

x_{1}

dividiert, was jedoch

x_{1} \neq 0

als Voraussetzung benötigt hätte.

Somit kann man dann daraus schließen, dass die Ergebnisse für

1 \cdot n

x_{1} = 0

führen und die Ergebnisse für

2 \cdot n

zu

den alternierenden Ergebnissen

x_{2 n} = - x_{1}

\land

x_{2 n + 1} = x_{1}

führen sollten.

Geht es diesmal in die richtige Richtung?

Liebe Grüße

ermanus aktiv_icon

19:31 Uhr, 14.10.2017

Bleiben wir bei ungeradem

n

. Benutze bitte

n

nur für die Anzahl der
Gleichungen bzw. Unbekannten. Für die Indizes der x'e nimm z.B.

i

, also

x_{i}

für

i = 1, \dots, n

.
Bei ungeradem

n

haben wir

x_{1} = 0

, wegen

x_{2} = - x_{1}

also auch

x_{2} = 0

, usw.

Dreemer aktiv_icon

01:47 Uhr, 15.10.2017

Hallo,

ok, soweit ich das jetzt verstanden habe, gilt für jedes

1 \cdot n :

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 0

(Ich bin mir unsicher, ob ich das so richtig formuliert habe.)

Welche Rückschlüsse würde ich noch ziehen können, wenn ich

n

weiterhin nur als ungerade Zahl betrachten würde?

Liebe Grüße

Dreemer aktiv_icon

14:33 Uhr, 15.10.2017

Hallo,

letztendlich haben wir nun für jedes ungerade

n

ein Ergebnis für

x_{i} = 0 (i = 1, ..., n)

.

Für jedes gerade

n

kommt ein Ergebnis für

x_{2 i} = - x_{1} \land x_{2 i + 1} = x_{1}

.

Geht das in die richtige Richtung oder gibt es etwas relevantes, was das ungerade

n

betrifft und ich nicht noch nicht erwähnt habe?

Liebe Grüße

ermanus aktiv_icon

14:42 Uhr, 15.10.2017

Das siehst du ganz richtig.

Im Falle

n

ungerade ist die Lösumgsmenge =

{(0)_{i = 1, \dots, n}}

.
Im Falle

n

gerade ist sie gleich

{(x_{i})_{i = 1, \dots, n} ∣ x_{i} = (- 1)^{i + 1} \cdot x

mit

x \in ℝ}

.

Gruß ermanus

Dreemer aktiv_icon

14:53 Uhr, 15.10.2017

Hallo,

vielen Dank für die Hilfe!

Der Lösungsweg scheint mir soweit ersichtlich zu sein.

Gibt es ansonsten irgendetwas erwähnenswertes oder kann man die Diskussion hier schließen?

Liebe Grüße

ermanus aktiv_icon

14:55 Uhr, 15.10.2017

Mir fällt nichts mehr weiter ein :-)

Dreemer aktiv_icon

17:44 Uhr, 15.10.2017

Alles klar. Dann danke ich dir herzlich für deine Hilfestellungen.

Ich schließe damit diesen Thread.

Liebe Grüße

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