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Lineares Gleichungssystem über Z/3Z lösen

Schüler

Tags: Körper, Lineares Gleichungssystem, Z/3Z

naeooo aktiv_icon

11:51 Uhr, 04.11.2018

Hallo,

hab folgende Aufgabe:

(\begin{matrix} x_{1} & 0 & 2 x_{3} & x_{4} & 0 \\ x_{1} & x_{2} & 2 x_{3} & 0 & x_{5} \\ 0 & 2 x_{2} & x_{3} & x_{4} & 2 x_{5} \end{matrix}) | (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Dieses Gleichungssystem soll ich über den Körper

Z | 3 Z

lösen. Das bedeutet ja, dass ich alle Zahlen, die nicht

0, 1

oder 2 sind durch modulo 3 ersetzen muss.

Da ich hier aber anfangs keine solchen Zahlen habe, kann ich dann das Gleichungssystem ganz normal nach dem Gaußverfahren

z . B

. lösen?

Mein Ansatz:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 2 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \to

Zeilenstufenform:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 5 \end{matrix})

Hier hätte ich jetzt zwar Zahlen, wie

- 1, - 2

und

5,

die ich durch modulo 3 ersetzen könnte, aber wäre das konform bzw. sinnvoll?

Hab dann ganz normal nach den x-Werten aufgelöst und folgende Ergebnisse bekommen:

x_{1} = - 8 + 5 x_{4}

x_{2} = - 2 + x_{4} - x_{5}

x_{3} = 5 - 3 x_{4}

x_{4} = x_{4}

x_{5} = x_{5}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme
Raummessung

ledum aktiv_icon

23:02 Uhr, 04.11.2018

Hallo
ich sehe nicht, wie du auf deine dritte Zeile kommst, und Zeilenstufenform ist das auch nicht.

mod 3

hast du dann doch besser

x 1 = 1 + 2 x_{4}

x_{2} = 1 + x_{4} + x_{5}, x_{3} = 2

eingesetzt in die erste Zeile:

1 + x_{4} + 1 + x 4 = 2

wäre nur richtig mit

x_{4} = 0

also muss da doch wohl was falsch gegangen sein.
1. bring es wirklich in Zeilenstufenform,

2,

immer direkt nur mit

1,2,0

arbeiten ist einfacher, aber , wenn man konsequent rechnet, kann man auch erst am ende wieder die kleinsten Zahlen einsetzen, Das einzige, was man vermeiden muss ist dividieren, da sollte man mit der Inversen multiplizieren,
Gruß ledum

naeooo aktiv_icon

23:09 Uhr, 04.11.2018

Ops, da hab ich falsch vom Blatt abgeschrieben.

Habs nochmal neu gerechnet und zwar ab der Zeilenstufenform mit

mod 3

bei den Zahlen, die nicht

0, 1

und 2 sind.

Ist mein Rechenweg/Lösung richtig?

Rechnungen im Anhang. Beim 1. Bild "Bild2", nur die Matrizen betrachten, die Lösungen darunter ignorieren.

pleindespoir aktiv_icon

02:35 Uhr, 05.11.2018

I=I-2 III
dann könntest Du Dir das Gefummel unten sparen ;-)

Bummerang

09:49 Uhr, 05.11.2018

Hallo,

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 2 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Da hast Du "hinten oben doch schon einen guten Anfang für ein Gauß-Dreieck. Wenn Du nun die zweite Zeile zur dritten und die doppelt erste Zeile ebenfalls zur dritten addierst, kommst Du in der dritten Zeile hinten jeweils auf Nullen. In der zweiten Spalte geschieht das selbe wie in der letzten und in der ersten und dritten Spalte stehen in den oberen Zeilen die selben Werte, die ein Mal und zwei Mal, also insgesamt drei Mal, addiert werden. Aber das dreifache ist Null, also bleiben in diesen Spalten die Werte erhalten. Richtig rechnen muß man also nur in der Ergebnisspalte. So ergibt sich:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

Jetzt noch die letzte Zeile mit nur noch zwei Werten zur ersten und zweiten Zeile addieren und schon hat man:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

Das zu lösen ist sehr einfach.

naeooo aktiv_icon

20:07 Uhr, 06.11.2018

Alles klar, danke :-)

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