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Linearfaktordarstellung von Polynomen
Universität / Fachhochschule
Tags: diagonalisierbare Matrix, Linearfaktordarstellung, polynom
 
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Ein Satz Behauptet, dass eine quadratische Matrix A genau dann diagonalisierbar ist, wenn das zugehörige charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Diese Aussage irritiert mich, denn jedes nicht-konstante Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren. Der Fundamentalsatz der Algebra behauptet ja, dass jedes Polynom n-ten Grades n Nullstellen hat, daher kann jedes Polynom in n Linearfaktoren zerlegt werden - Ausnahmen gibt es keine. Also zerfällt jedes nicht-konstante Polynom vollständig in Linearfaktoren. Daher kann ich den Satz so nicht annehmen, und doch muss ich davon ausgehen, dass die Aussage richtig ist. Da entgeht mir etwas. Kann mir jemand helfen? Vielen Dank! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, > Ein Satz Behauptet, dass eine quadratische Matrix A genau dann diagonalisierbar ist, wenn das zugehörige > charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Kann es sein, dass der Körper, über dem das ganze betrachtet wird, dort mit erwähnt wird? > Diese Aussage irritiert mich, denn jedes nicht-konstante Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren. über nicht! Über auch nicht, wie wir diese Woche schonmal festgestellt hatten. ( mod 4) > Der Fundamentalsatz der Algebra behauptet ja, dass jedes Polynom n-ten Grades n Nullstellen hat, daher kann > jedes Polynom in n Linearfaktoren zerlegt werden Diese Aussage gilt nur über algebraisch abgeschlossenen Körpern, wie es ist. Sie gilt nicht über allen Körpern. > Da entgeht mir etwas. Kann mir jemand helfen? Wie geschrieben: Dir entgeht, dass der Körper eine Rolle spielt. Der Fundamentalsatz gilt nur für spezielle Körper, der andere Satz allgemein. Mfg Michael |
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Nein, von Körpern war überhaupt keine Rede. Nun habe ich aber verstanden, glaube ich. Das heisst (zur Verifizierung): Im Körper der komplexen Zahlen kann man jedes nicht-konstante Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegen (die Anzahl der Linearfaktoren und der Nullstellen stimmt mit dem Grad des Polynoms überein). Ausnahmen gibt es keine. Im Körper der reellen Zahlen kann es hingegen vorkommen, dass das Polynom keine bzw. weniger Nullstellen als der Grad des Polynoms hat bzw. nicht (vollständig) in Linearfaktoren zerlegt werden kann. Beispiel 1: p(z) = + 1 p hat den Grad 2, aber keine reellen Nullstellen und man kann daher in R zeine Linearfaktoren ausklammern. Beispiel 2: p(z) = - + z - 1 = (z - 1)( + 1) p hat den Grad 3, eine einzige reelle Nullstelle und daher kann man in R einen einzigen Linearfaktor ausklammern |
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Hallo, ich glaube nicht, dass der Satz wirklich so lautet; denn selbst bei algebraisch abgeschlossenem Körper ist er falsch. Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Ihr charakteristisches Polynom zerfällt aber vollständig in Linearfaktoren. Gruß ermnus |
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Vielleicht meinst du diesen Satz: eine quadratische Matrix ist genau dann diagonalisierber, wenn ihr Minimalpolynom in lauter verschiedene Linearfaktoren zerfällt. |
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@ Ermanus Ja, der Satz ist falsch. Die Äquivalenz gilt nicht. Richtig ist: Das charakteristische Polynom jeder beliebigen diagonalisierbaren Matrix A M(nxn, K) zerfällt vollständig in Linearfaktoren, hat daher n Nullstellen. Die Diagonalisierbarkeit von A ist somit eine hinreichende Bedingung für die vollständige Linearfaktorisierung von , diese hingegen ist eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung für die Diagonalisierbarkeit von A. Liege ich richtig? |
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Vielen Dank für die Hilfe ... |
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