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Linearfaktorzerlegung der n-ten Einheitswurzel

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen, n-te Wurzel, polynom

malibu97 aktiv_icon

20:11 Uhr, 24.11.2018

Hallo allerseits :-)

Das eine Aufgabe aus dem Analysis Blatt diese Woche bringt mich noch zur Verzweiflung:

Gegeben ist die 6-te Einheitswurzel

z^{6} - 1 = 0

.

Es ist zu begründen, warum dieses Polynom 6 Nullstellen in

ℂ

hat bzw. sind diese auszurechnen.
Das habe ich bereits getan, indem ich

z^{6} - 1

(z - 1) (z^{2} + z + 1) (z + 1) (z^{2} - z + 1)

zerlegt habe. Mit dem Satz vom Nullprodukt habe ich einfach jeden Faktor gleich Null gesetzt und habe meine 6 Nullstellen heraus.
Nur wie kann ich das im Vorhinein begründen, warum das Polynom 6 Nullstellen hat? Der Fundamentalsatz der Algebra sagt ja nur aus, dass mindestens eine Lösung existiert.

Die zweite Schwierigkeit habe ich mir der Linearfaktorzerlegung in der zweiten Teilaufgabe. Über Polynomdivision (mit raten der rein-reellen Nullstellen 1,-1) bin ich zum ausdruck gekommen:

z^{6} - 1 = (z^{4} + z^{2} + 1) (z - 1) (z + 1)

. Diese Zerlegung besteht offensichtlich nicht aus rein linearen Faktoren. Nur wie soll ich ab

z^{4} + 2^{2} + 1

weitermachen? Alle restlichen Nullstellen haben jetzt einen imaginären Teil und damit ist die Polynomdivision extrem umständlich.
Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Respon

20:23 Uhr, 24.11.2018

Radizieren von komplexen Zahlen.

1 = 1 + i \cdot 0 = cos (2 \cdot π \cdot k) + i \cdot sin (2 \cdot π \cdot k)

k \in ℤ

rundblick aktiv_icon

20:47 Uhr, 24.11.2018

.
"Gegeben ist die 6-te Einheitswurzel

z^{6} - 1 =

0...."
wau!

\to

da hast du dich wohl verschrieben?

z^{6} = 1 . .

\Leftrightarrow ... . .

z^{6} = e^{k \cdot 2 π \cdot i} . .

. mit

k \in ℤ .

. ( Polaformdarstellung der

1)

die 6 Lösungen dieser Gleichung sind

\to

z_{k} = e^{\frac{k \cdot π}{3} \cdot i} . .

. für

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

oder

z_{k} = cos (\frac{k \cdot π}{3}) + i \cdot sin (\frac{k \cdot π}{3}) . .

. für

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Beispiel

z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot i . .

. und

. .

z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot i .

.

sind die beiden Lösungen deiner Gleichung

\to z^{2} + z + 1 = 0

usw..

nebenbei:
die 6 LösungsPunkte sind Eckpunkte des dem Einheitskreis

| z | = 1

inbeschriebenen
regelmässigen Sechsecks

(.

. beginnend mit dem Punkt

(1; 0) . .)

zeichne !
.

malibu97 aktiv_icon

20:56 Uhr, 24.11.2018

Die Polardarstellung hatten wir in der Vorlesung noch nicht, weswegen ich glaube, dass ich das nicht gebrauchen darf. Und die 6 Nullstellen habe ich ja bereits herausgefunden (-1;1;

\pm \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{3}{4}})

Es geht mir hauptsächlich darum, wie man die Aussage treffen kann, dass 6 Lösungen in

ℂ

existieren und wie genau eine Linearfaktorzerlegung aussehen würde.

malibu97 aktiv_icon

20:57 Uhr, 24.11.2018

Die Polardarstellung hatten wir in der Vorlesung noch nicht, weswegen ich glaube, dass ich das nicht gebrauchen darf. Und die 6 Nullstellen habe ich ja bereits herausgefunden (-1;1;

\pm \frac{1}{2} \pm i \sqrt{\frac{3}{4}})

Es geht mir hauptsächlich darum, wie man die Aussage treffen kann, dass 6 Lösungen in

ℂ

existieren und wie genau eine Linearfaktorzerlegung aussehen würde.

Respon

21:00 Uhr, 24.11.2018

Von deinen 6 "Nullstellen" sind aber nur zwei richtig !

malibu97 aktiv_icon

21:03 Uhr, 24.11.2018

Für den imaginären Teil habe ich vergessen, das i zu schreiben und dann nachbearbeitet. Meinst du vielleicht das? Ich würde sehr gerne die Polarform nutzen/Sinus/Cosinus aber ich denke das wird mir angestrichen werden.

Respon

21:08 Uhr, 24.11.2018

Es wäre übersichtlicher, wenn du die 6 Lösungen einzeln auflistest.
Und jetzt musst du nur noch die Linearfaktoren bilden und miteinander multiplizieren.

rundblick aktiv_icon

21:08 Uhr, 24.11.2018

1)

von den 6 von dir "gefundenen" Lösungen hast du 4 fehkerhaft/falsch notiert ..
(ok - sehe , das hast du inzwischen bemerkt)

2)

" Es geht mir hauptsächlich darum, wie man die Aussage treffen kann,
dass 6 Lösungen in ℂ existieren "

machst du Witze? du hast doch konkret die 6 Lösungen berechnet - also existieren sie ..

3)

" und wie genau eine Linearfaktorzerlegung aussehen würde."
wau!
wie gewohnt

\to (z - z_{0}) \cdot (z - z_{1}) \cdot (z - z_{2}) \cdot (z - z_{3}) \cdot (z - z_{4}) \cdot (z - z_{5}) = z^{6} - 1

vielleicht schaffst du es selbst, die 6 konkret ermittelten Werte für die

z_{k}

noch einzusetzen ?

.

malibu97 aktiv_icon

21:24 Uhr, 24.11.2018

Zu 2) Entschuldige ich bin noch Erstsemester und fahre gerade eher die Schiene "Lieber überkorrekt als nachlässig". In der Aufgabe steht erst die Frage, warum es 6 Nullstellen gibt und im zweiten Satz steht erst "bestimmen sie diese". Daher meine Verwirrung.

Zu 3) Okay dann werde ich die Faktorzerlegung wohl einfach mal mit den weiteren Nullstellen mit imaginärem Teil ausprobieren. Sollte ich dafür das z aus (z-...) mit a+bi ersetzen? Und ist die Polynomdivision der richtige Ansatz?

Respon

21:30 Uhr, 24.11.2018

Wenn du dir deine Lösungen auflistest, bist du ja eigentlich schon fast fertig.

z_{0} = 1

s_{1} = - 1

z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \cdot \sqrt{3}

z_{3} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \cdot \sqrt{3}

usw.

\Rightarrow

x^{6} - 1 = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \cdot \sqrt{3}) \cdot (x - \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \cdot \sqrt{3}) \cdot . .

ermanus aktiv_icon

23:19 Uhr, 24.11.2018

Hallo,
noch zur Ergänzung:
dass die Nullstellen von

z^{6} - 1

alle verschieden sind,
erkennt man auch daran, dass die Ableitung

6 z^{5}

für keine
dieser Nullstellen verschwinden kann, da

6 z^{5} = 0

nur für

z = 0

möglich ist,

z = 0

aber keine Nullstelle von

z^{6} - 1

ist.
Gruß ermanus

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