Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Linearisierung der DGL h.=-k*wurzel(h)

Linearisierung der DGL h.=-k*wurzel(h)

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Ruhelage, Wurzelfunktion

Sgreb aktiv_icon

09:00 Uhr, 15.05.2025

Guten Morgen,

ich hätte eine Frage zur Differentialgleichung

h' (t) = - k \cdot \sqrt{h (t)}

. Eine Linearisierung um die Ruhelage ist mit der Taylorreihenentwicklung nicht möglich, da die Ruhelage bei

h = 0

ist.
Linearisierung mit Taylorreihenentwicklung um

h_{0}

ergibt:

x' (t) + k \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{h_{0}}} \cdot x (t) = 0

Setze ich für

h_{0} = 0

ein, wird durch 0 geteilt, was nicht möglich ist.

wobei die Abweichungsgrößen

x (t) = h (t) - h_{0}

x' (t) = h' (t)

sind.

Wenn ich jetzt aber um einen Arbeitspunkt

h_{0} > 0

betrachte, kann ich die DGL lösen. Meine Frage ist rein für das Verständnis:

Was passiert, wenn man nicht um die Ruhelage linearisiert, also rein anschaulich? Gibt mir die linearisierte DGL im Arbeitspunkt immer die gleiche Steigung wie die nicht lineare DGL? Also gibt mir die linearisierte DGL um einen Arbeitspunkt immer ein ähnliches Verhalten wie die nicht lineare DGL? Ich stelle mir das so vor, wie das einfache Tangentenverfahren, nur das keine Gerade im Arbeitspunkt angelegt wird, sondern eine Funktion, die sich um den Arbeitspunkt ähnlich verhält. Ist das richtig?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

09:26 Uhr, 15.05.2025

Du betrachtest Anfangswert

h_{0} = h (t_{0})

, und ich nehme an, Parameter

k

ist als positiv vorausgesetzt.

Für

h_{0} > 0

bekommst du die eindeutige Lösung

h (t) = {(\sqrt{h_{0}} - \frac{k}{2} (t - t_{0}))}^{2}

die aber nur für

t \leq t_{0} + \frac{2}{k} \sqrt{h_{0}} = : t_{1}

gültig ist. Darüber hinaus muss zwangsläufig

h (t) = 0

für

t \geq t_{1}

gelten.

Anders sieht es aus im Fall

h_{0} = 0

: Da ist die Lösung zwar für

t \geq t_{0}

auch wieder

h (t) = 0

, für

t < t_{0}

ist sie jedoch nicht eindeutig: In der Zeit rückwärts gehend kann die Funktion eine Weile Null bleiben und zu irgendeinem Zeitpunkt

t_{1} \leq t_{0}

ins Positive abzweigen, d.h. es ist dann

h (t) = {(\frac{k}{2} (t_{1} - t))}^{2}

für alle

t \leq t_{1}

.

So ein

t_{1}

muss es aber nicht geben, denn

h (t) = 0

für alle

t

ist ja auch eine Lösung für das AWP

h_{0} = 0

.

P.S.: Oft wird in dem Zusammenhang auch die leicht andere DGL

h ʹ (t) = - k \cdot \sqrt{∣ h (t) ∣}

betrachtet:

Da liegen die Dinge noch etwas anders, denn die Funktion kann nach einer (mehr oder weniger langen) Nullphase dann zu irgendeinem Zeitpunkt in einen negative Parabelarm abzweigen. Ist bei dir hier aber nicht der Fall, da die Beträge fehlen.

1590996

1590995

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?