Linearisierung einer Funktion

Wie lautet die Gleichung der Tangente, die vom Punkte A = (-1;0) aus an den Funktionsgraphen von ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ gelegt wird?

Lösung:

${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{2}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{1}{2}}$

Tangentenberührpunkt : ${\displaystyle {\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$=(1;1)

Wie kommt man auf das Ergebnis bzw. wie geht man hierbei vor?

Hallo,

eine Tangente ist eine Gerade und erfüllt die allgemeine Geradengleichung: f(x)=mx+b

Gesucht sind m und b.

m und b müssen so gewählt sein, dass f(-1)=0 ergibt (da A(-1|0) auf dem graphen liegen soll).

Also (i) ${\displaystyle \mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot (-1)+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$

Zusätzlich ist bekannt, dass P(1|1) auf f(x) liegt,

also (ii) ${\displaystyle \mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \left(1\right)+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$

Nun sind 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten vorhanden und sollten leicht berechnet werden können.

Falls P(1|1) zur Lösung gehört und nicht bekannt ist:

Dann ist lediglich (i) bekannt.

Nun ist ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sqrt{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$. Die Tangente f(x) muss eine Tangente von g(${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$) sein, g'(x) muss also im Punkt x0 gleich f(x) sein:

(ii) ${\displaystyle \mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}}$

Aus (i) folgt jedoch, dass b=m gilt, und daher ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}}$, was nun nach x0 aufgelöst werden kann. Dadurch ist nun die Stelle von x0 bekannt. Diese Stelle muss nun in g(x) eingesetzt werden, und der Berührpunkt P(1|1) sollte sich ergeben. Dadurch kann dann wie oben fortgefahren werden.

mfG

nicht ganz...P(1/1) ist nicht bekannt, es ist nur in der Lösung mit angegeben. Wie rechne ich das dann aus?

hehe...okay...ich sollte erst aktualisieren und dann schreiben :)...habe gerade gesehen das du deine antwort ergänzt hast :)!

klingt als ob es funktionieren könnte :)! wird nach dem schlaf nachgerechnet! :)

danke & n8!

Tom

Ich versuche auch schon seit geraumer Zeit den Lösungsweg nachzurechnen, stoße aber auf neue Probleme.

*EDIT* Der Lösungshinweis sollte geändert werden wie folgt: */EDIT*

g(x)=${\displaystyle \sqrt{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

f(x)=${\displaystyle \mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$

(i) 0=-m+b => b=m

Also: f(x)= ${\displaystyle \mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Da f(x) die Tangente für g(x) an einer Stelle x0 ist, gilt ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)=\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)}$. Also:

(ii) ${\displaystyle \mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0+\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}}$.

und die Steigung m von f(x) ist die Steigung von g(x) an der Stelle x0. Also:

(iii) ${\displaystyle \mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{2\sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}}}$.

Wenn du nun (iii) in (ii) einsetzt, erhälst du glückligerweise die Stelle x0=1.

Dann ist g(x0)=g(1)=1 und damit ist der Berührpunkt p(1|1) bekannt.

So passt's dann endlich.. hui^^

mfG

ziemlich tricky...hoffe die profs haben erbarmen bei den klausuren...hehe :)!

merci auf jeden!

Gruß, Tom