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Linearisierung einer nichtlinearen DGL

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Linearisierung

 
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Blackparrot

Blackparrot aktiv_icon

13:00 Uhr, 15.04.2018

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Hallo liebe Community,

ich habe folgende nichtlineare DGL vorliegen:

q(t)=πd2dx(t)dt+cx(t)

Nun soll ich angeben, welche DGL sich für kleine Änderungen ∆q1(t) und ∆x(t) um einen Arbeitspunkt x0 bzw. q0 ergibt.
Mein Ansatz ist Folgender: Die Ausgangs-DGL ist wegen der Wurzel nichtlinear. Daher betrachten wir kleine Änderungen um den Arbeitspunkt x0, sodass wir eine Linearisierung durchführen: Wir verwenden die Taylor-Entwicklung, um aus der nichtlinearen eine lineare DGL zu machen:
Es gilt x(t)=x0+ ∆x(t) und deshalb ist x’(t) = ∆x’(t).
Ich linearisiere die Wurzel, indem ich die Taylor-Reihe nach dem linearen Term abschneide:
x(t)=x0+ ∆x(t) /(2x0)

Wenn wir diese zwei Bedingungen in die DGL einsetzen erhalten wir:

∆q(t) =πd2 ∆x’(t) +c(x0+ ∆x(t) /(2x0))

Nun erhalte ich also eine lineare DGL. Ich bin mir aber unsicher, ob ich einfach so die nichtlinearen Terme ersetzen darf. Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

22:42 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Hallo
Δx hat in einer Dgl nichts zu suchen! meinst du vielleich statt dessen (x-x0) dann musst du g und f nach 1. Taylor aufschreiben
also x=x0+12x0(x-x0)
und g(t)=g(t0)+g'(t0)(t-t0)
einsetzen und in konstante und t abhängige teile trennen.
und was soll denn Δx' bedeuten?
Gruß ledum
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