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Linearisierung mit Punktsteigungsform

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

Engel3 aktiv_icon

19:48 Uhr, 11.09.2019

Hallo,

Ich habe eine Sättigungsfunktion, die ich an der Stelle

x_{0} = 0

linearisieren soll. A und

B

sollen positive Parameter sein.

f (x) = A (1 - 2 e^{- \frac{x}{B}})

Jetzt haben wir dazu aufgeschrieben:

T : \frac{y - y_{0}}{x - x_{0}} = f' (x_{0})

welches ergibt:

\frac{y + A}{x} = \frac{2 A}{B}

Meine Frage ist, wie kommt man auf den Ausdruck:

\frac{2 A}{B}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

20:04 Uhr, 11.09.2019

f (x) = A \cdot (1 - 2 e^{- \frac{x}{B}})

"Meine Frage ist, wie kommt frau auf den Ausdruck:

\frac{2 A}{B}

\to

erster Schritt : berechne die Ableitung von

f (x)

.. kannst du das?

\to f' (x) = ...

.

mach mal so weit
.

Engel3 aktiv_icon

20:07 Uhr, 11.09.2019

Ja, das müsste:

= A (- 2) \cdot (- \frac{1}{B}) \cdot e^{- \frac{x}{B}}

= A \cdot (\frac{2}{B}) \cdot e^{- \frac{x}{B}}

sein

Edit: Ich sehe es gerade. Dann rutscht das A auch noch mit in den Zähler. Stimmts?

rundblick aktiv_icon

20:17 Uhr, 11.09.2019

"Dann rutscht das A auch noch mit in den Zähler. Stimmts?"

ja .. also

\to f' (x) = \frac{2 A}{B} \cdot e^{- \frac{x}{B}}

und jetzt sollst du die Ableitung an der Stelle

x = 0

ermitteln :

\to f' (0) = . .

.
mach das nun..
.

Engel3 aktiv_icon

20:23 Uhr, 11.09.2019

f' (0) = \frac{2 A}{B} \cdot 1 = m

Jetzt brauche ich noch die Nullstelle der Tangente und der Kurve.

Für die Nullstelle der Tangente muss ich dann

m \cdot x + b

"ausfüllen". Das wär dann

\frac{2 A}{B} \cdot x + b

Aber wie komme ich auf b?

rundblick aktiv_icon

20:32 Uhr, 11.09.2019

.
"Jetzt brauche ich noch die Nullstelle der Tangente und der Kurve."

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

^.

. NEIN !

kann es sein, dass du dir beim Aufschreiben diese Textes irgendwas gedacht hast?

da ist doch keine Nullstelle ?!

\to

die Tangente soll doch durch den Kurvenpunkt

P (0 / f (0))

gehen

!!

\to

also finde den y-Wert von

P

heraus

.. dh: wie bekommst du

f (0) = ...

? (das wird nicht 0 sein!! .. also

P

ist keine Nullstelle von

f)

f (x) = A \cdot (1 - 2 e^{- \frac{x}{B}})

\Rightarrow f (0) = ...

Engel3 aktiv_icon

20:45 Uhr, 11.09.2019

...kann es sein, dass du dir beim Aufschreiben diese Textes irgendwas gedacht hast?

Was soll ich mir dabei gedacht haben?

Ich soll die Kurve und die Tangente dann in ein Koordinatensystem einzeichnen. Dazu brauche ich ja den Schnittpunkt von Kurve und Tangente, sowie die Nullstellen von beiden. Und genau das ist mein Problem. Ich weiß zwar wie der Graph später aussehen soll, aber weiß nicht wie man darauf kommt

rundblick aktiv_icon

21:02 Uhr, 11.09.2019

.
"Dazu brauche ich ja den Schnittpunkt von Kurve und Tangente, sowie die Nullstellen von beiden."

... ... . .

\to

vergiss diesen Schwachsinn

!!

du sollst schlicht die Gleichung der Tangente IM Kurvenpunkt

P

(mit dem x-Wert

x_{P} = 0)

finden ..

und das ist eine Gerade mit der Steigung

m = \frac{2 A}{B}

durch

P (x_{P} = 0 / y_{P} = f (x_{P}))

und die Punkt-Richtungsform einer solchen Geradengleichung ist

\to y - y_{P} = m \cdot (x - x_{P})

also musst du jetzt nur noch

y_{P} = f (x_{P}) = f (0)

berechnen.. und alles brav einsetzen

es ist

f (x) = A \cdot (1 - 2 e^{- \frac{x}{B}})

also nochmal

\to .

. was bekommst du also, wenn du für

x = 0

einsetzt?

\Rightarrow y_{P} = f (x_{P}) = f (0) = ...

?

ob du das je schaffst ?
.

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21:08 Uhr, 11.09.2019

f (0) = - A

rundblick aktiv_icon

21:11 Uhr, 11.09.2019

.
" f(0)=-A"

... ... ... ... ... . .

. JA !

aber bitte noch nicht schlapp machen :

\to

wie sieht also die Gleichung der gesuchten Tangente aus

\to ...

?

.

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21:18 Uhr, 11.09.2019

y = m \cdot x + b

y = \frac{2 A}{B} \cdot x - A

Also doch geschafft.

Danke

rundblick aktiv_icon

21:22 Uhr, 11.09.2019

.
"Also doch geschafft. "

... ... ... ... ... ... ...

. SUPER !

y = \frac{2 A}{B} \cdot x - A

oder

y = \frac{2 A}{B} \cdot [x - \frac{B}{2}] . .

. da siehst du auch gleich noch die vorher so ersehnte Nullstelle .. bei

x =

?

und jetzt kannst du mir auch noch verraten, in welchem Bundesland es drei Engel gibt? .. :-)
.

Engel3 aktiv_icon

21:44 Uhr, 11.09.2019

Nullstelle bei

x = \frac{B}{2}

Warum interessiert dich das Bundesland aus dem ich komme? Aufgrund meiner Fragen hast du vielleicht gemerkt das es nicht Bayern ist.

rundblick aktiv_icon

22:15 Uhr, 11.09.2019

.
"Warum interessiert dich das Bundesland aus dem ich komme?

einfach so... um zB zu erfahren, warum du das lieber geheim hältst..
und
wegen deiner amüsanten Eröffnung der Fragepartie

\to

"Ich habe eine Sättigungsfunktion,.."
(was ist denn das? .. oder : was hast du denn satt?)

" Aufgrund meiner Fragen hast du vielleicht gemerkt das es nicht Bayern ist."

hm.. eigentlich weniger wegen der Fragen ; eher wegen deinen lustigen Vermutungen
(zB: "Für die Nullstelle der Tangente muss ich dann m⋅x+b "ausfüllen".)

andererseits liegt Bayern wegen der Maria und dem Engelglauben doch noch im Rennen..
denn in Hessen zB sind bestimmt so schöne symbolträchtige Erscheinungen weniger angesagt ?

aber wer weiss , auch in Österreich oder so soll es ja Bundesländer geben?
tappe im Dunkeln und grüss Dich also einfach mal..

.

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