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Linearisierung von Funktionen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

Miausch aktiv_icon

14:54 Uhr, 14.03.2015

Hallo

Wir haben Aufgaben zur Linearisierung von Funktionen.
Ein Beispiel ist uns wie folgt gegeben:

(1)

- Funktion:

y = α x^{β}

- Transformation:

log (y) = y', log (x) = x'

- Lineare Form:

y' = log (α) + β \cdot x'

Ich verstehe zwar wie hier vorgegangen wird, aber es ist mir unklar (man logarithmiert beide Seiten der Funktion und wendet dann die Logarithmus Regeln an), aber ich verstehe nicht was genau

x'

und

y'

sein sollen? Es soll sich ja schlussendlich um eine lineare Form der Funktion handeln

Zudem müssen wir selbst die folgenden zwei Funktionen linearisieren:

(2)

y = α \cdot e^{β x}

Hier würde ich auf beide Seiten

ln

anwenden und bekomme dann:

ln (y) = ln (α) + β x

stimmt das?

(3)

y = α + β \cdot log (x)

Hier würde ich auf beide Seiten

e

anwenden und erhalte:

e^{y} = e^{α} + e^{β} \cdot x

ist das wiederum korrekt? Hier ist ja

y

im Exponenten jedoch

x

nicht..

Danke

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

PhantomV aktiv_icon

15:11 Uhr, 14.03.2015

Hi,

dein

y'

und

x'

sind einfach die neuen Variablen nach der Transformation. Die Transformation gibt
an, wie

x

und

x'

bzw

y

und

y'

zusammenhängen. Diese Zuordnung ist bijektiv,

d . h

. für jedes

x

bekommst du genau ein

x'

und kannst für dieses

x'

wieder das

x

finden von dem es stammt. Analog bei

y

und

y'

.

Deine Ideen zu

2)

und

3)

sehen gut aus. Bei

2)

ist die linearisierte Form:

y' = ln (α) + β \cdot x',

wobei

y' = ln (y)

und

x' = x

Damit kannst du sicherlich dann auch

3)

lösen.

Gruß PhantomV

Miausch aktiv_icon

15:26 Uhr, 14.03.2015

Ah so..wenn ich dich richtig verstehe, ersetzt man einfach wieder

log (y)

und

log (x)

mit

x

und

y

(aber da man neu substituiert gibt es auch neue Bezeichnungen), was wir machen können da die log funktion bijektiv ist. Oder? :-)

Dem Fall können wir

2)

schreiben als

y' = ln (a) + β x',

mit

x' = x

und

y' = ln (y)

und

3)

ist

y' = e^{α} + e^{β} \cdot x'

.

Dann müssen wir auch diese beiden Funktionen linearisieren:

4) y = \frac{x}{α \cdot x - β}

5) y = α \cdot e^{\frac{β}{x}}

hast du mir da ev. einen Tipp? Ich weiss da nicht, ob ich mit e-Funktion oder Logarithmus weiterkomme.

Vielen Dank

ledum aktiv_icon

15:27 Uhr, 14.03.2015

Hallo
du benutzest einfach neue Variable, zur Erinnerrung woher sie Stammen nennst du sie wieder mit "y" aber da es nicht

y

selbst ist eeben

y'

oder

y^{\cdot}

du könntest es auch statt

x'

und

y' u

und

v

nennen
du hast die Funktion

y = a \cdot x^{b}

ln (y) = ln (a) + b \cdot ln (x)

mit

ln (y) = v

und

ln (x) = u

hast du jetzt

v = log (a) + b \cdot u

eine linearisierte Gleichung.
jetzt zu deiner Aufgabe

y = a + b \cdot ln (x)

e^{y} = e^{a + b \cdot ln (x)}

!=eâ+e^(b*ln(x))
sondern

e^{y} = e^{a} \cdot {(e^{ln (x)})}^{b} = e^{a} \cdot x^{b}

also nicht linear.

hier setze einfach

ln (x) = u

(oder

x')

und

v = y

dann hast du direkt

v = a + b \cdot u

oder

y = a + b \cdot x'

Weisst du warum man das macht? wenn nicht, frage nach.
Gruß ledum

Miausch aktiv_icon

16:09 Uhr, 14.03.2015

Sorry, ehrlich gesagt bin ich vom letzten Post nur vewirrt.

PhantomV aktiv_icon

16:23 Uhr, 14.03.2015

2)

und

3)

stimmen. Was sind deine Ideen zu

4)

und

5)

? Bei

4) z . B

. gibt es doch die Log Regel
Log(a/b) = Log(a)-Log(b), versuchs mal damit...

Miausch aktiv_icon

16:53 Uhr, 14.03.2015

Ich glaube

3)

stimmt wirklich nicht, es müsste doch wirklich eine Multiplikation statt einer Addition sein?

PhantomV aktiv_icon

16:59 Uhr, 14.03.2015

Korrekt. Habs zu flüchtig überlesen...

PhantomV aktiv_icon

17:03 Uhr, 14.03.2015

Wenn du auf beiden Seiten die e-Funktion anwendest erhältst du:

e^{y} = e^{α + β \cdot log (x)}

Jetzt musst du überlegen was du geeignet substituierst.

Miausch aktiv_icon

17:32 Uhr, 14.03.2015

Ok.
Das könnte ich ja schreiben als:

e^{y} = e^{α} \cdot x^{β}

y

könnte ich doch mit

ln (y)

substituieren, nicht? Ich weiss aber nicht, wie ich das dann schreiben muss. Ist

y = ln (y')

korrekt?
Bei

x

bin ich mir nicht sicher wie vorgehen..

PhantomV aktiv_icon

17:38 Uhr, 14.03.2015

Die Frage ist ob du den Umweg über die e-Funktion überhaupt machen musst.
Was ist wenn du

y' = y

und

x' = α + β \cdot log (x)

setzt?

Miausch aktiv_icon

18:04 Uhr, 14.03.2015

..damit hätte ich dann

x' = y' . .

PhantomV aktiv_icon

18:44 Uhr, 14.03.2015

Ja bzw

y' = x'

. Ist das eine lineare Funktion und ist diese Substitution erlaubt?

Miausch aktiv_icon

19:36 Uhr, 14.03.2015

Ja, schon, und bijektiv ist sie immer noch, wir haben die Funktion ja nur gestreckt und verschoben. Aber die Funktion ist einfach recht anders als die Ursprungsfunktion...

Zu

4)

dann hätten wir ja

log (y) = log (x) - log (α x - β)

hmm..ich weiss da nicht weiter...

PhantomV aktiv_icon

19:51 Uhr, 14.03.2015

3)

Besser:

y' = y

und

x' = ln (x)

Miausch aktiv_icon

13:03 Uhr, 16.03.2015

Tatsächlich ist es denn gerade damit ohne vorherige Schritte gelöst.

Was ist mit

4)

PhantomV aktiv_icon

17:45 Uhr, 16.03.2015

Hier musst du streng genommen eine Fallunterscheidung machen, je nachdem was

α

und

β

ist.

Habt ihr eigentlich irgendwo definiert was ihr unter einer Linearisierung versteht?
Oder ist es bei euch einfach eine bijektive Transformation der Koordianten so dass die
Funktion in den neuen Koordianten eine lineare Funktion ist?

Zu

4)

Versuche

x' = \frac{1}{α x - β}

Miausch aktiv_icon

18:21 Uhr, 17.03.2015

Hi
Danke vielmals.

Ich konnte jetzt mit einer Kombination von

\frac{1}{.}

. und log bzw.

ln

alle Aufgaben lösen!
Es ist eine Veranstaltung in angewandter Statistik, eine genaue Definition von Transformationen gabs da nicht (oder ev. am Rande und ich habs nicht mitbekommen).

Ich hab noch ein paar Fragen, die sich mir beim Lösen gestellt haben:

1)

Ich weiss dass

ln (x \cdot y) = ln (x) + ln (y) -

aber warum gilt das auch bei Konstanten?
Also

ln (a \cdot x) = ln (a) + ln (x)

? (Und nicht

z . B

a \cdot ln (x) -

oder würde das Linearität von

ln

voraussetzen?)

2)

Wenn ich den Bruch

\frac{x}{1 + x}

habe, ist das ja gleich wie die Division

x : (1 + x)

. Bei dem Distributivgesetz mit Multiplikation

(x \cdot (1 + x))

darf man ja gliedweise rechnen - warum darf man das eigentlich hier bei der Division nicht (dh

\frac{x}{1} + \frac{x}{x})

? Klar gibts ein falsches Resultat - aber was genau ist die Begründung?

Vielen lieben Dank für die Hilfe

ledum aktiv_icon

01:52 Uhr, 18.03.2015

Hallo

ln (x \cdot y) = ln (x) + ln (y)

dabi kann

x

und

y

doch jede Zahl sein also auch

a

.
du fragst doch auch nicht warum wenn

x + x + x = 3 \cdot x

ist ob das dann auch für

a + a + a = 3 \cdot a

gilt.
2. hast du schon selbst beantwortet, weil es falsch ist.
beim multiplizieren multiplizierst du jede zahl der Klammer mit der Zahl. beim Dividieren

(1 + x) : x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}

in dem Sinne sind das Regeln der Klammerrechnung. nur beim multiplizieren gilt

a \cdot b = b \cdot a

aber es gilt NICHT

a : b = b : a

PhantomV aktiv_icon

02:44 Uhr, 18.03.2015

Ledum hats ja schon im wesentlichen gesagt. Vllt bist du noch an ein paar mehr Details interessiert.

Die reellen Zahlen bilden einen Körper und ein Axiom ist dabei dass das Distributivitätsgesetz gilt, das regelt was passiert wenn Multiplikation und Addition zusammenkommen, bzw. genauer eben dass gilt:
(

a \pm b) \cdot c = a c \pm b c

(linksdistributiv) und

a \cdot (b \pm c) = a b \pm a c

(rechtsdistributiv).

Die Multiplikation ist also distributiv

(=

linksdistributiv & rechtsdistributiv)

Aber nicht alle Verknüpfungen müssen distributiv sein.
Ein Beispiel für „nur“ Rechtsdistributivität ist die Division, die nicht kommutativ ist:

(a \pm b) : c = a : c \pm b : c

Hier gilt in der Regel nicht:

a : (b \pm c) = a : b \pm a : c

Dies kann man sich leicht an Gegenbeispielen klar machen.

Gruß PhantomV

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