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Linearität Nachweis bei Summenzeichen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

jamang aktiv_icon

13:33 Uhr, 04.06.2013

Hallo,
folgende Frage wollte ich beantworten:

Sei

f : V - > W

linear und sei

v = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i}

, wobei

v_{i} \in V

und

a_{i} \in ℝ

(eigentlich IK, aber den Buchstaben gibts hier wohl nicht) sind, für alle

1 \leq i \leq n

. Beweisen Sie, dass

f (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} f (v_{i})

gilt.

Mein Versuch:

Wir nutzen die Linearität von f.

f (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i}) = f (a_{1} v_{1} + . . . + a_{n} v_{n}) \overset{f l i n e a r}{=} f (a_{1} v_{1}) + . . . + f (a_{n} v_{n}) \overset{f l i n e a r}{=} a_{1} f (v_{1}) + . . . a_{n} f (v_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} f (v_{i})

, q.e.d.

Richtig so? Oder muss ich über Induktion arbeiten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Guest01 aktiv_icon

18:23 Uhr, 04.06.2013

Hallo Jamang

Nein, so reicht das vermutlich nicht aus. Ich würde einen Beweis per Induktion über

n

durchführen.

mfg

jamang aktiv_icon

19:50 Uhr, 04.06.2013

Warum reicht das "vermutlich" nicht aus? Entweder der Beweis ist richtig oder falsch.

Guest01 aktiv_icon

20:07 Uhr, 04.06.2013

Er ist falsch. Es gibt unendliche viele

n \in ℕ

und somit kannst du es nicht für jeden Einzelfall durchgehen. Also Beweis per Induktion.

jamang aktiv_icon

20:28 Uhr, 04.06.2013

Danke.
Und warum ist anzunehmen, dass es unendlich viele n gibt?
Dann wäre ja jedes

v \in V

durch eine unendliche Linearkombination von Basisvektoren erzeugt?
Was bedeutet das für die Basis, bzw. die Vektorräume? Die Basis wäre dann unendlich? Das Erzeugendensystem damit auch? Die Vektorraum damit unendlich? Kann zwischen zwei unendlichen Vektorräumen einen lineare Abbildung bestehen?

Danke für jeden klärenden Hinweis. Bin noch etwas verunsichert.

Guest01 aktiv_icon

21:13 Uhr, 04.06.2013

n

kann ja beliebig aus den natürlichen Zahlen sein und somit gibt es unendlich viele Fälle. In jedem Fall wählst du allerdings ein festes

n

und somit einen n-dimensionalen Vektorraum.

Jedoch gibt es auch unendlich dimensionale Vektoräume. Die Definition für

z . B

. Linearkombinationen wird dabei noch verallgemeinert:

Sei I eine beliebige Menge. Dann heißt eine Familie

{(c_{j})}_{j \in I}

von Elementen im Körper

K

Koeffizientenfamilie, wenn

c_{j} \neq 0

für nur endliche viele

j \in I

ist. Ein Vektor

w

heißt dann Linearkombination von einer Familie von Vektoren

{(v_{j})}_{j \in I},

wenn es eine Koeffizientenfamilie

{(c_{j})}_{j \in I}

gibt, mit:

w = \sum_{j \in I, c_{j} \neq 0} c_{j} v_{j}

Ein endlichdimensionaler Vektorraum entspricht also somit dem Spezialfall I=

{

1,...n}

Es existieren auch lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen. Man bezeichnet diese als lineare Operatoren.

jamang aktiv_icon

21:23 Uhr, 04.06.2013

Danke, jetzt verstehe ich.

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