Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Linearität einer Integral-Abbildung

Linearität einer Integral-Abbildung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

Blackparrot aktiv_icon

19:05 Uhr, 28.07.2017

Hallo zusammen,
schaut euch bitte die Aufgabe im angefügten Bild an.
Ich soll prüfen, ob die Abbildung

Φ

linear ist. Also würde ich folgendes rechnen:

Φ (a \cdot f_{1} + b \cdot f_{2}),

wobei

f_{1}

und

f_{2} \in C ([a, b])

. Meine Frage ist aber, von wo a und

b

kommen. Formal kommen sie ja aus dem Grundkörper des Vektorraums

C ([a, b])

. Aber was ist der Grundkörper von

C ([a, b])

? Leider weiß ich das überhaupt nicht und kann mir darunter nichts vorstellenund bin mir mit meiner Rechnung daher ziemlich unsicher.

Das gleiche ist bei einer anderen Abbildung

Λ : P (ℝ) \to P (ℝ)

. Was sind "Konstanten/Skalare" (oder wie werden die genannt?) des Vektorraums der reellen Polynome

P (ℝ)

?

Ihr würdet mir mit einer kurzen Erklärung sehr weiterhelfen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

21:28 Uhr, 28.07.2017

Hallo,

ich verstehe gerade dein Problem nicht.

C ([a, b])

ist ein reeller Vektorraum, also ein solcher über

ℝ

.
Übrigens musst du auf deine Bezeichner achten: du hast

a

und

b

in zwei vollkommen verschiedenen Bedeutungen benutzt.
Ich hoffe, du meinst sowas wie

Φ (c_{1} \cdot f_{1} + c_{2} \cdot f_{2})

.
Oder ?

Blackparrot aktiv_icon

22:31 Uhr, 28.07.2017

Hallo ermanus,

oh, natürlich meine ich mit a und

b

im Argument andere Variablen... Also kann ich so argumentieren?:

Φ (c \cdot f_{1} + d \cdot f_{2}) = \int_{a}^{b} φ (t) \cdot (c \cdot f_{1} + d \cdot f_{2}) d t = \int_{a}^{b} (c \cdot φ (t) \cdot f_{1} + d \cdot φ (t) \cdot f_{2}) d t =

\int_{a}^{b} c \cdot φ (t) \cdot f_{1} d t + \int_{a}^{b} d \cdot φ (t) \cdot f_{2} d t = c \cdot \int_{a}^{b} φ (t) \cdot f_{1} d t + d \cdot \int_{a}^{b} φ (t) \cdot f_{2} d t

= c \cdot Φ (f_{1}) + d \cdot Φ (f_{2})

Und diese Umformung kann ich machen, da

c, d \in ℝ

?
Hätte ich damit dann die Linearität gezeigt?

Das andere Beispiel ist:

Λ : P (ℝ) \to P (ℝ), (Λ (p)) (x) = x^{2} \cdot p

Hier sind die Konstanten auch in

ℝ

? Dann würde ich nämlich so rechnen: Mit

p_{1}, p_{2} \in P (ℝ)

und

c, d \in ℝ \to

(Λ (c \cdot p_{1} + d \cdot p_{2})) (x) = x^{2} \cdot (c \cdot p_{1} + d \cdot p_{2}) = x^{2} \cdot c \cdot p_{1} + x^{2} \cdot d \cdot p_{2} = c \cdot x^{2} \cdot p_{1} + d \cdot x^{2} \cdot p_{2}

= c \cdot (Λ (p_{1})) (x) + d \cdot (Λ (p_{2})) (x)

Also ist auch

Λ

linear. Liege ich damit richtig?

Viele Grüße!

ermanus aktiv_icon

22:36 Uhr, 28.07.2017

Das ist vollkommen korrekt :-)

Gruß ermanus

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1381810

1381790

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?