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Linearkombination Polynome, Basis

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

Stefan11

11:14 Uhr, 12.06.2018

Schönen guten Tag allen!

Leute, bitte helft mir diese Aufgabe zu lösen, ich bin etwas verwirrt, zu viele Begriffe auf einmal

Ich danke Ihnen im Voraus

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

11:29 Uhr, 12.06.2018

Hallo,

welcher Begriff macht Schwierigkeiten?

Gruß pwm

Stefan11

12:00 Uhr, 12.06.2018

Wie kann ich

z . B

diese Polynome als Linearkombination darstellen und dann noch den Koordinatenvektor bestimmen?

Wir haben gerade angefangen Lineare Algebra zu machen, es ist am Anfang schwierig

Bummerang

09:37 Uhr, 13.06.2018

Hallo,

alles halb so schwer!

p_{1} (x) = {(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x + 1

Koordinatendarstellung bzgl.

B_{1}

p_{1} (x) = a \cdot 1 + b \cdot x + c \cdot x^{2}

Koeffizientenvergleich:

a = 1, b = 2, c = 1 \Rightarrow (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

Koordinatendarstellung bzgl.

B_{2}

p_{1} (x) = a \cdot 1 + b \cdot (x - 1) + c \cdot {(x + 1)}^{2}

p_{1} (x) = a + b \cdot x - b + c \cdot (x^{2} + 2 \cdot x + 1)

p_{1} (x) = a + b \cdot x - b + c \cdot x^{2} + 2 \cdot c \cdot x + c

p_{1} (x) = a - b + c + b \cdot x + 2 \cdot c \cdot x + c \cdot x^{2}

p_{1} (x) = (a - b + c) + (b + 2 \cdot c) \cdot x + c \cdot x^{2}

Koeffizientenvergleich:

a - b + c = 1, b + 2 \cdot c = 2, c = 1

\Rightarrow b + 2 \cdot 1 = 2 \Rightarrow b = 0

\Rightarrow a - 0 + 1 = 1 \Rightarrow a = 0

\Rightarrow (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Und anlog

p (x) = 3 \cdot x^{2} + 2 \cdot x

p (x) = a \cdot (x^{2} + x + 1) + b \cdot (x^{2} - x + 1) + c \cdot (x - 1)

p (x) = a \cdot x^{2} + a \cdot x + a + b \cdot x^{2} - b \cdot x + b + c \cdot x - c

p (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x^{2} + a \cdot x - b \cdot x + c \cdot x + a + b - c

p (x) = (a + b) \cdot x^{2} + (a - b + c) \cdot x + (a + b - c)

Koeffizientenvergleich:

a + b = 3

a - b + c = 2

a + b - c = 0

addiere 2-te Zeile zur dritten:

2 \cdot a = 2 \Rightarrow a = 1

1 + b = 3 \Rightarrow b = 2

1 + 2 - c = 0 \Rightarrow c = 3

\Rightarrow (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

Stefan11

18:48 Uhr, 13.06.2018

Ah soo, ja, sowas haben wir gemacht.... Danke

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