Linearkombination, Vektoren

Hi,

es soll gelten:

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}0\\ 9\end{array}\right)=\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 6\end{array}\right)+\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)}$

daraus erhält man das LGS:

${\displaystyle \left|\begin{array}{c}0=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 9=6\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right|}$; dieses LGS ist unterbestimmt, man erhält Lösungen nur in Abhängigkeit.

${\displaystyle \left|\begin{array}{c}0=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 9=6\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right|\iff \left|\begin{array}{c}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{-2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\\ \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=3-2\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right|}$; wenn man einen Wert für Paramter r frei wählt, ergibt sich aus der unteren Gleichung der Wert für den Parameter s. Beispiel: Für r=1 ergibt sich s=1.

Für a ergibt sich: ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{-2\cdot 1}{1}=-2}$; wenn der Wert für a nicht die obere Gleichung erfüllt, sind die Vektoren ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ linear unabhängig, also lässt der Vektor ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ sich nicht als Linearkombination der Vektoren ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ darstellen.

pantau

Ich würde es folgendermaßen machen:

Begründung:

Da der Parameter r frei wählbar ist, ergibt sich daraus der Parameter für s.

Für a muss jetzt gelten: ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{-2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$; als Antworsatz zu deiner Fragestellung:

Für alle a ungleich ${\displaystyle \frac{-2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ sind die Vektoren ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ linear unabhägig.

pantau