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Linearkombination konvergenter Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

Vittoria

14:34 Uhr, 18.05.2012

Ich habe die angabe mittels bild hochgeladen da es sonst sehr mühsam gewesen wäre!!

Bei diesem Beispiel habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen muss.
Ich dachte eigentlich das das eh logisch ist dass ich einfach die Summe aufspalte und danach die Konstanten aus der Summe heraus gebe dann erhalte ich ja auch die rechte Seite......aber anscheinend geht das nicht so einfach wie ich mir das gedacht habe!!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Sina86

15:00 Uhr, 18.05.2012

Hi,

zu der Aufgabe gibt es doch einen Tipp. Was ist denn damit?

Gruß
Sina

Vittoria

09:43 Uhr, 19.05.2012

mit dem Trick fange ich nur leider nicht viel an! Ich hab überhaupt keine ahnung wo ich ansetzen muss.

Die Partialsumme ist doch

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{k} = \frac{1}{1 - x}

oder ?

und die linearkombination konvergenter folgen:
sein

a_{n}, b_{n}

konvergente reelle Folgen,

λ, μ \in ℝ

. Dann konvergiert auch

(λ a_{n} + μ b_{n})

und zwar gegen

(λ lim a_{n} + μ lim b_{n})

[lim (λ a_{n} + μ b_{n}) = λ lim a_{n} + μ lim b_{n})]

Beweis: Man interpretiert die Folge

(λ a_{n})

als Produkt zweier folgen.

{(λ a_{n})}_{n} = {(λ)}_{n} \cdot {(a_{n})}_{n}

\Rightarrow {(λ)}_{n}

ist konstant (konvergiert) gegen

λ

\Rightarrow λ a_{n} \to λ lim a_{n}

analog dazu

μ b_{n} \to μ lim b_{n}

nun noch den Summenteil

\Rightarrow λ a_{n} + μ b_{n} \to λ lim a_{n} + μ lim b_{n}

(so haben wir das in der Vorlesung gemacht. und nun muss ich das ganze auf Reihen anweden mit der Partialsumme

!!

wie fange ich da an?

Lg Vittoria

hagman aktiv_icon

10:50 Uhr, 19.05.2012

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{k} = \frac{1}{1 - x}

ist keine Partialsumme, sondern die geometrische Reihe.
Also erst einmal eine Gegenfrage:
Wie habt ihr die Konvergenz von Reihen definiert? (In eurer Definition dürfteder Begriff der Partialsumme an prominenter Stelle erscheinen)

Vittoria

11:43 Uhr, 19.05.2012

Wir haben gesagt dass die Konvergenz von Reihen auf die Konvergenz von Folgen zurück geführt ist, nämlich die Konvergenz der Partialsumme.

lim_{m \to \infty}

= lim_{m \to \infty} \sum_{n = 0}^{m} a_{n} = \sum_{n = 0}^{\infty}

hagman aktiv_icon

12:06 Uhr, 19.05.2012

Wie sieht denn die m-te Partialsumme der Linearkombination aus?

Vittoria

12:21 Uhr, 19.05.2012

= \sum_{k = 0}^{m} (λ a_{k} + μ b_{k})

1003992

1003815

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