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Linearkombination trotz Vektors im Logarithmus

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Gleichungssystem, Linearkombination von Vektoren, Logarithmus, Vektorraum

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14:44 Uhr, 20.06.2018

Ich habe die folgende Gleichung gegeben:

a + b \cdot x_{i} + c \cdot ln (x_{i}) = y_{i}

wobei

x = {(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{3}, 2, 3)}^{T}

und

y = {(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6})}^{T}

Hieraus soll nun die (verallgemeinerte) Lösung für

a, b

und

c

bestimmt werden.

Nun weiß ich nicht genau, wie ich damit umzugehen habe, da der

ln

von einem Vektor ja bekanntlich nicht definiert ist.
Mein Versuch einer Lösung sieht wie folgt aus:

(1)

Zuerst habe ich die Werte von

x

einzeln in den

ln

eingesetzt, sodass ich die folgenden (gerundeten) Werte bekomme:

\cdot ln (\frac{1}{2}) \approx - 0,7

\cdot ln (\frac{3}{4}) \approx - 0,3

\cdot ln (\frac{4}{3}) \approx 0,3

\cdot ln (2) \approx 0,7

\cdot ln (3) \approx 1,1

(2)

Daraus habe ich dann mein LGS (Matrixform) erstellt und versucht mittels Gauß-Algorithmus die Lösungen zu bestimmen.

(\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{3}{4} & - \frac{3}{10} & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{4}{3} & \frac{3}{10} & \frac{3}{4} \\ 0 & 2 & \frac{7}{10} & \frac{4}{5} \\ 0 & 3 & \frac{11}{10} & \frac{5}{6} \end{matrix}) \Leftrightarrow \cdot \cdot \cdot \Leftrightarrow (\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{3}{4} & - \frac{3}{10} & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & \frac{5}{6} & - \frac{47}{108} \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{7}{36} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Da in der 4.Zeile ein Widerspruch auftritt folgt:

\Rightarrow L = {}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

anonymous

16:02 Uhr, 20.06.2018

Hallo
Na ja, du hast

>

drei Unbekannte, nämlich

a, b, c

>

und fünf Gleichungen.
Dass hierbei ein Widerspruch raus kommt, ist doch sehr dringend plausibel und zu erwarten.

Mach dir selbst und dann ggf. uns erst mal klar, was du eigentlich willst, und worin die Aufgabe im Kern besteht.
Willst du vielleicht eine Fehlerausgleichsrechnung, also diejenigen Werte für

a, b, c

die die fünf Gleichungen am besten erfüllen, ohne aber unbedingt die Gleichungen exakt zu erfüllen?

Genovese aktiv_icon

19:28 Uhr, 20.06.2018

Tatsächlich ist in der Aufgabenstellung nicht mehr angegeben als ich oben geschrieben habe. Man solle einfach die verallgemeinerte Lösung für

a, b

und

c

finden.
Der Denkanstoß mit der Fehlerausgleichsrechnung um ein überbestimmtes LGS zu lösen ist aber gut. Daran hatte ich noch nicht gedacht.Danke dafür!
Ausgehend von der Gaußschen Normalgleichung habe ich nun folgende Werte für

a, b

und

c

gefunden:

\cdot a \approx - 0,4

\cdot b \approx 0,63

\cdot c \approx - 0,84

für

x_{1} = \frac{1}{2}

ergibt sich:

- 0.4 + 0.63 \cdot (\frac{1}{2}) - 0.84 \cdot ln (\frac{1}{2}) = 0.497244

also

\approx \frac{1}{2} = y_{1}

Also, vielen Dank nochmal!

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