Linearkombination von Vektoren

Hallo Leute

ich habe hier folgende Aufgabenstellung zu lösen:

Zeigen Sie, daß die Vektoren

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\stackrel{5}{\underset{-2}{-3}}\right),\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\stackrel{2}{\underset{-3}{2}}\right),\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\stackrel{1}{\underset{2}{-4}}\right)}$

linear unabhängig sind, und stellen Sie den Vektor ${\displaystyle \mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\stackrel{3}{\underset{1}{-2}}\right)}$

als Linearkombination der Vektoren a,b,c dar.

Als Lösung soll : v = 2a +b rauskommen.

Ich weiß das die Lineakombination (nichtriveal) über die Formel:

v = ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$1 v1 + ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$2 v1 + ... + ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$n vn

Ich habe das ganze Versucht über ein Gleichungssystem zu lösen bin aber nie auf die oben angegebene Lösung (insbesondere das der "c" Vektor in der Lösung 0 ist) gekommen.

Meine Lösung nach diversen Umformungen im Gleichungssystem sieht folgendermaßen aus:

(a) (b) (c) (v)

5 2 1 | 3

17 10 0 | 10

-0.1 | -12

Ein weiterer Ansatz den ich ausprobiert habe ist die Berechnung über die Beträge der Vektoren, aber dies macht das Ganze (da Wurzeln, bzw gleiche Exponentengrade der Variablen v1, v2, v3) sehr schwierig.

Vollkommen richtig, daher habe ich die Frage (da ich mir die Lösungsangabe auf dem Arbeitsblatt auch nicht erklären kann) auch mal ins Forum geschrieben.

Welche Möglichkeiten gibt es denn überhaupt, die Vektor v mithilfe von einer Linearkombination der Vektoren a,b,c zu errechnen. Ich kenne bisher nur die Variante über das Gleichungssystem bzw. ausprobieren (wenn die Lösung ersichtlich ist).