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Linker und rechter Eigenvektor

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, linker Eigenvektor, Matrizenrechnung, rechter Eigenvektor

Rotfuchs aktiv_icon

22:45 Uhr, 25.06.2018

Hey :-)

Ich soll folgende Aussage an der Matrix

(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

überprüfen:

1)

Ein rechter Eigenvektor zu einer quadratischen Matrix ist ein Vektor für den gilt:

A \cdot v = λ \cdot v

2)

Wenn die Matrix symmetrisch ist, so ist

v

ein linker Vektor:

(v^{t}) \cdot A = λ \cdot (v^{t})

Die Eigenwerte sind:

λ_{1} = 3; λ_{2} = 1

Eigenvektor von

λ_{1} = 3 \to (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

und von

λ_{2} = 1 \to (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

Was genau soll ich jetzt tun?
Ich bin leider einmischen verwirrt...

Versuch:

1)

(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \Rightarrow 3 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \Rightarrow λ \cdot v

\to w . A

. (?)

\to

rechter Eigenvektor??

2)

Ist

(v^{t})

der Vektor der transponierten Matrix oder einfach ein transponierter Vektor?
Falls er der Vektor der transponierten Form ist, bleibt er gleich, da

(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

eine symmetrische und quadratische Matrix ist und daher gleich ausschaut. Wenn man den Vektor transponiert, wird hier aus einem Spalten- ein Zeilenvektor oder?

(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) \Rightarrow 1 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) \Rightarrow λ \cdot (v^{t})

\to w . A

. (?)

\to

linker Eigenvektor

Was sagt ihr dazu?

Noch eine allgemeine Frage: Was ist nun ein linker und rechter Eigenvektor? Unterscheiden sie sich durch das Transponieren?

Lg, Rotfuchs

ledum aktiv_icon

00:04 Uhr, 26.06.2018

v^{T}

ist ein Zeilenvektor, den man nur von links mit der Matrix multiplizieren kann
Gruß ledum

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