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Linksnebenklassen und Faktorgruppe

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: faktorgruppe, Gruppen, Linksnebenklassen

anonymous

11:12 Uhr, 09.02.2016

= {1, 3, 7, 9}

ist eine zyklische Untergruppe von

ℤ_{20}^{⋆} (ℤ_{20}^{⋆} = {x \in ℤ_{20} |

ggt(x,20)

= 1})

. Geben Sie alle Linksnebenklassen von

U

in.

ℤ_{20}^{⋆}

an und stellen Sie die Gruppentafel der Faktorgruppe

\frac{ℤ_{20}^{⋆}}{U}

auf."

Ich habe folgende Linksnebenklassen aufgestellt:

{1, 3, 7, 9} = 3 U = 9 U = 7 U = 1 U

{11, 13, 17, 19} = 11 U = 13 U = 17 U = 19 U

Ist das überhaupt richtig?

Bei der Teilaufgabe mit der Faktorgruppe komme ich gerade auf nicht weiter. Die Ordnung der Faktorgruppe müsste nach Lagrange 2 betragen. Aber ich habe keine Ahnung, wie ich auf diese beiden Elemente komme um dann die Gruppentafel aufstellen zu können.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

11:19 Uhr, 09.02.2016

"Aber ich habe keine Ahnung, wie ich auf diese beiden Elemente komme"

Das sind doch gerade die Linksnebenklassen, welche Du schon berechnet hast.
Also

1 U = U

(das ist das neutrale Element) und

11 U

.
Und eine Gruppentafel für eine Gruppe aus

2

Elementen aufzustellen ist nur mal wirklich nicht schwer. Es gibt grundsätlich (also bis auf Isomorphie) nur eine einzige Gruppe aus

2

Elementen, sie ist natürlich zyklisch.

anonymous

16:14 Uhr, 09.02.2016

"Das sind doch gerade die Linksnebenklassen, welche Du schon berechnet hast.
Also

1 U = U

(das ist das neutrale Element) und

11 U

.
Und eine Gruppentafel für eine Gruppe aus 2 Elementen aufzustellen ist nur mal wirklich nicht schwer. Es gibt grundsätlich (also bis auf Isomorphie) nur eine einzige Gruppe aus 2 Elementen, sie ist natürlich zyklisch."

Naja, das Verwirrende für mich ist, dass diese Elemente doch Gruppen sind. Also ist das Erstellen der Gruppentafel für mich nicht so simpel wie anscheinend für dich.

DrBoogie aktiv_icon

16:22 Uhr, 09.02.2016

"Naja, das Verwirrende für mich ist, dass diese Elemente doch Gruppen sind."

Sie sind keine Gruppen, sondern Nebenklassen.

U

ist zwar auch eine Gruppe, wird hier aber als Nebenklasse betrachtet, und

11 U

ist überhaupt keine Gruppe.
Und was sie "im früheren Leben" waren, spielt keine Rolle mehr, wenn es um die Faktorgruppe geht. In der Faktorgruppe sind

U

und

11 U

einfach Elemente, die man miteinander multipliziert. Wie man Nebenklassen multipliziert, musst Du eigentlich wissen. Wenn nicht, die Regel ist so:

a U \cdot b U = a b U

.
Damit gilt

U \cdot 11 U = 11 U \cdot U = 11 U

U \cdot U = U

11 U \cdot 11 U = 121 U = U

, weil wir in der Welt "Modulo 20" leben.
Damit wäre die Tafel fertig. Sie ist natürlich diesselbe wie z.B. die Tafel für

ℤ_{2}

, denn alle Gruppen aus zwei Elementen sind identisch, sie bestehen aus

e

(neutrales Element) und

a \neq e

mit

a^{2} = e

. In Deinem Fall gilt

e = U

und

a = 11 U

anonymous

11:04 Uhr, 14.02.2016

Tut mir leid, ich meinte in meinem letzten Beitrag "Mengen" und nicht "Gruppen". Aber deine Erklärung hat mir sehr weitergeholfen, vielen Dank!

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