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Linkstotal, rechtstotal,... Mengenschreibweise

Universität / Fachhochschule

Tags: Verständnis

Christian- aktiv_icon

19:46 Uhr, 25.07.2021

Hallo,

ich verstehe diese Schreibweise nicht. Alles andere von der Tabelle habe ich verstanden. Nur diese Mengenschreibweise nicht (obwohl ich weiß, was man unter Mengenschreibweisen allgemein versteht).

I_A soll also eine Teilmenge von der Umkehrrelation

R^{- 1}

verknüpft

\circ

mit einer Relation

R

sein.

I_A

\subseteq R^{- 1} \circ R

Kann mir das jemand erklären? Vielleicht mit Bildchen, da man mit Bilder viel lernen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

20:56 Uhr, 25.07.2021

I_{A}

ist die Diagonale der Menge

A,

die Identitätsrelation. Sie besteht also aus allen Paaren

(a; a)

mit

a \in A

R^{- 1} \circ R

ist die Verkettung er Relation

R

mit ihre inversen Relation

R^{- 1},

und zwar in ebendieser Reihenfolge also erst

R,

dann

R^{- 1}

.

Beispiel

1)

A = {1; 2; 3}, B = {4; 5; 6}, R = {(1; 4); (1; 5); (2; 6); (3; 4)}

dann ist

R^{1} = {(4; 1); (5; 1); (6; 2); (4; 3)}

I_{A} = [(1; 1); ((2; 2); (3; 3)}

R \circ R^{- 1} = {(1; 1); (1; 3); (2; 2); (3; 1); (3,3)}

Die Relation

R

ist linkstotal, da, wie leicht ersichtlich ist, jedem Element von A mindestens ein Element von

B

zugeordnet ist. Und tatsächlich gilt auch

I_{A} \subseteq R^{- 1} \circ R

Die Relation ist wegen der Elemente

(1; 4)

und

(3; 4)

nicht injektiv (linkseindeutig) und das spiegelt sich dadurch wieder, dass NICHT

R^{- 1} \circ R \subseteq I_{A}

gilt (weil

(3; 3)

fehlt).

Beispiel

2)

A = {1; 2; 3}, B = {4; 5; 6}, R = {(1; 4); (1; 6); (2; 6)}

Jetzt ist der

3 \in A

kein Element aus

B

zugeordet, die Relation ist also nicht linkstotal und demnach gilt auch NICHT

I_{A} \subseteq R^{- 1} \circ R

R^{- 1} = {(4; 1); (6; 1); (6; 2)}

I_{A} = {(1; 1); ((2; 2); (3; 3)}

R \circ R^{- 1} = {(1; 1); (1; 2); (2; 2); (2; 1)}

Christian- aktiv_icon

23:41 Uhr, 25.07.2021

Vielen Dank Sensei Roman!
Ich denke noch etwas nach. Auf jeden Fall ist das sehr gut, was du gepostet hast.

Christian- aktiv_icon

00:02 Uhr, 26.07.2021

Okey, habe jetzt eine Frage.

Wenn man die Teilmenge des kartesischen Produkts als Diagonale bezeichnet, dann müsste auch in dieser mathematischen Formulierung (siehe Bild) dieses

R

auch eine Diagonale sein? Ich würde sagen ja.

Roman-22

01:54 Uhr, 26.07.2021

>

Wenn man die Teilmenge des kartesischen Produkts als Diagonale bezeichnet,
Das hat niemand behauptet!
Eine Teilmenge von

A x B

ist eine (beliebige) binäre Relation.
Die Diagonale ist aber eine spezielle homogene Relation und eine homogene Relation

R

liegt dann vor, wenn

A = B,

also

R \subseteq A \times A

.
Das Spezielle an der Diagonale = Identitäts-Relation (diese Bezeichnung bringt es besser auf den Punkt und erklärt auch die Bezeichnung

I_{A})

ist eben, dass sie alle mögliche Paare

(a; a)

mit

a \in A

enthält.
zB

A = {1; 3; 7} \to I_{A} = {(1; 1); (3; 3); (7; 7))

Natürlich ist jede Diagonale eine binäre Relation, aber die Umkehrung gilt da selbstverständlich nicht!

>

dann müsste auch in dieser mathematischen Formulierung (siehe Bild) dieses

R

auch eine Diagonale sein? Ich würde sagen ja.

Ich sag' aber "nein" :-)

P . S . :

Die Definition für "Diagonale" findest du ja auch in dem Wikipedia-Artikel, auf den sich deine ursprüngliche Frage bezogen hatte: de.wikipedia.org/wiki/Relation_(Mathematik)#Spezielle_homogene_Relationen_und_Operationen_auf_homogenen_Relationen

Christian- aktiv_icon

14:58 Uhr, 27.07.2021

= = = = = = = =

Zitat:
Eine Teilmenge von

A \times B

ist eine (beliebige) binäre Relation.
Die Diagonale ist aber eine spezielle homogene Relation und eine homogene Relation

R

liegt dann vor, wenn

A = B,

also

R \subseteq A \times A

= = = = = = = =

Ach so okey, danke. Für eine allgemeine Aussage einer Relation

R \subseteq A \times B

können wir nicht

R

als eine Diagonale bezeichnen falls

A \neq B

gilt. Falls aber

A = B

gilt, so könnten wir auch schreiben

A \times A

und dann also

R \subseteq A \times A

.
In dem Fall

- - \to R \subseteq A \times A < - - - -

würde man

R

als eine Diagonale bezeichnen. Solch eine Relation wird als eine homogene Relation bezeichnet. Wir bezeichnen aber nicht eine homogene Relation als

R

sondern wir wählen lieber I_A oder

Δ_{A}

oder

D_{A}

.

Ich denke noch etwas nach über deine guten Beispiele da oben.

Christian- aktiv_icon

00:48 Uhr, 28.07.2021

Okey, gut, nun kommen weitere Fragen auf.

Zitat:
I_A ist die Diagonale der Menge $A,$ die Identitätsrelation.
Zitat ende
Genau, das habe ich verstanden. Man kann sie auch als Gleichheitsrelation bezeichnen.
Wieso wird sie Diagonale genannt? Ich denken mir, wenn wir uns das kartesische Produkt

A \times A

vor Augen führen, dann sehen wir, dass die 2-Tupel(geordneten Paare) auf der Diagonalen jeweils dieselben Elemente erhalten (siehe Bild). Ist meine Schlussfolgerung richtig bis jetzt?

Dann hast du geschrieben I_A sei bezogen auf dein Beispiel:

I_A=

{(1,1); (2,2); (3; 3)}

Sind das also nur die diagonalen Tupel, oder war das jetzt nur als Beispiel von dir, um mir zu zeigen, weshalb Die Indentitätsrelation als Diagonale bezeichnet wird?

Ich dachte, dass I_A eben aus allen geordneten Paaren

(a, a) \in A

bestünde.
I_A

= {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (3,1); (3,2); (3,3)}

Roman-22

01:29 Uhr, 28.07.2021

>

dann sehen wir, dass die 2-Tupel(geordneten Paare) auf der Diagonalen jeweils dieselben Elemente erhalten
Ja, und das wird wohl einmal jemanden auf die Idee gebracht haben, die entsprechende Relation Diagonale zu nennen-.

>

Ich dachte, dass I_A eben aus allen geordneten Paaren (a,a)∈A bestünde.
Ja, das ist ja auch richtig. Beachte, dass wenn da

(a; a)

steht, natürlich beide "a" das Gleiche bedeuten. Es handelt sich also um jene Paare, bei denen beide Komponenten gleich sind. Du hast ja selbst auch richtig von der Gleichheitsrelation geschrieben.

Was du da als

I_{A}

anbietest, ist ja ganz

A \times A,

also

{(a; b) | a \in A \land b \in A}

.
Die Diagonale ist aber

{(a; a) | a \in A}

Erkennst du den Unterschied?

Christian- aktiv_icon

02:27 Uhr, 28.07.2021

- - - - - - - - - - - - - -

Zitat:
Was du da als I_A anbietest, ist ja ganz

A \times A,

also

{(a; b) | a \in A \land b \in A}

.
Die Diagonale ist aber

{(a; a) | a \in A}

Erkennst du den Unterschied?

- - - - - - - - - - - - - -

Ja, den erkenne ich. Bei der beschreibenden Mengenschreibweise

{(a; b) | a \in A \land b \in A}

könnte auch

a \neq b

sein, falls man sich jetzt das Dupel

(a, b)

als Beispiel

(1, 2)

betrachtet.

Bei der Diagonalen (Gleichheitsrelation, Identitätsrelation), die durch

{(a; a) | a \in A}

beschrieben wird, hätten wir exakt dieselben Elemente beim Dupel. Als Beispiel

(1, 1)

oder

(2, 2)

oder

(3, 3)

.

Ah so. Also ist es so, dass ich eine homogene Relation als ganzes betrachtet

R := {(a; b) | a \in A \land b \in A}

nicht spezifizieren kann, sodass sie als gesamt den Namen Identitätsrelation (Gleichheitsrelation) trägt. Wenn ich mir aber aus dieser homogenen Relation nur
die diagonalen Tupel anschaue, so spezifiziere ich diese homogene Relation mit dem Namen Identitätsrelation (Gleichheitsrelation).

Das heißt konkret für die homogene Relation als gesamtes betrachtet für das Beispiel in diesem Bild vorhin:

R_{h o m o g e n} = {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (3,1); (3,2); (3,3)}

Und die Betrachtung der diagonalen Tupel beim kartesischen Produkt

A \times A

macht aus der homogenen Relation eine Identitätsrelation (Gleichheitsrelation)
I_A=

D_{A} = Δ_{A} = {(1, 1); (2, 2); (3, 3)}

Richtig schlussgefolgert Sensei Roman?

Roman-22

03:01 Uhr, 28.07.2021

>

Richtig schlussgefolgert Sensei Roman?
nicht so ganz

Zunächst einmal: Eine (zweistellige) Relation ist einfach eine Menge von Paaren (2-Tupel), geschrieben als

(a; b),

wobei die ersten Komponenten aus einer Menge A stammen und die zweiten Komponenten aus einer Menge B. Es gilt auch die Sprechweise, dass, wenn

(a; b)

ein Element einer Relation ist. dass

a

in Beziehung zu

b

steht.
Damit ist jede Relation eine Teilmenge von

A \times B,

denn

A \times B

besteht ja aus allen möglichen dieser Paare.

Wenn

A = B

ist, dann spricht man von einer homogenen Relation. Eine solche beschreibt also Beziehungen innerhalb einer Menge. Manche Autoren sollen aber auch jede Relation als homogen bezeichnen, da ja eine Relation

R \subseteq A \times B

mit

A \neq B

auch als homogene Relation

R \subseteq C \times C

mit

C = A \cup B

aufgefasst werden kann.

Beispiel: Ist also

A = {1; 2; 3},

so ist

R = [(1; 2); (2; 3); (1; 3)}

auch eine mögliche Relation. Hier handelt es sich zB um die "kleiner" Relation

{(a; b) \in A \times A | a < b}

JEDE Teilmenge von

A \times A

ist eine homogene zweistellige Relation und nicht nur die von dir vorgeschlagene

R = A \times A = {(a; b) | a \in A \land b \in A}

. Diese spezielle Relation nennt man "Allrelation" und auch andere Bezeichnungen sind üblich. Jedes Element von A ist da mit jedem anderen in Beziehung.
Weitere spezielle Relationen sind dann zB die "Nullrelation", die kein Element beinhaltete, also die Leere Menge ist und eben die Gleichheits- oder Identitätsrelation, die auch Diagonale genannt wird. Bei dieser steht jedes Element in Beziehung zu sich selbst und nur zu sich selbst.

Christian- aktiv_icon

01:20 Uhr, 29.07.2021

Vielen Dank!

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