Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zeigen, dass f kontrahiert & Lipschitz Konstante

Zeigen, dass f kontrahiert & Lipschitz Konstante

Universität / Fachhochschule

Tags: kontrahierend, Lipschitz, Lipschitz-stetig, Lipschitzstetigkeit, Numerik, numerisch, Numerische Mathematik

Immortalize aktiv_icon

11:21 Uhr, 27.04.2024

Aufgabe: Durch

f (x) := (x + 1) \cdot (x

−

\frac{1}{2}) \cdot (x - \frac{2}{3})

=x³-x²/6-5x/6+1/3 sei

f : [0, \frac{1}{2}]

→

R

definiert.
Zeigen Sie, dass

f

kontrahierend ist und dass ∀x ∈

[0, \frac{1}{2}] : f (x)

∈

[0, \frac{1}{2}]

.

Was ich noch nicht ganz verstehe: Die Funktion ist ja im Intervall fallend. Aber damit die Funktion kontrahierend ist, muss

f' (x)

doch zwischen

[0,1 [

liegen, oder?

Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

11:48 Uhr, 27.04.2024

Hallo,

Du schriebst:
> ..., oder?

Genau: oder!

Es muss

∣ f ʹ (x) ∣ < 1

gelten. Genauer:

sup ({∣ f ʹ (x) ∣ ∣ x \in [0; \frac{1}{2}]}) < 1

gelten.

Aber sicher steht das auch in deiner/deinem Mitschrift, Vorlesung, Skript.

Mfg Michael

Immortalize aktiv_icon

14:23 Uhr, 27.04.2024

Bei uns steht:

siehe Bild (ok, es ist sehr klein, einfach unterm Text draufklicken)

und danach:
"Eine kontrahierende Abbildung ist eine lipschitzsche Abbildung mit einer Lipschitz-Konstante 0 ≤

L < 1

. "

Und da die Funktion dort fallend ist, müsste die minimale Lipschitz-Konstante auch negativ sein (aber natürlich das Sup

(| f' (x) |)

in diesem Intervall annehmen)

ledum aktiv_icon

16:17 Uhr, 27.04.2024

Hallo
schreib dir die Definition der Lipschitz konstante mal auf, dann siehst du, dass die IMMER positiv ist. Was ja auch aus dem Betrag in deinem sup zu sehen ist.
Gefragt war, wann eine Abb. kontrahierend ist.
Ist noch eine Frage offen, sonst hak bitte ab.
Gruß ledum

KartoffelKäfer aktiv_icon

20:58 Uhr, 27.04.2024

Sei

f : [0, \frac{1}{2}] \to R, x \mapsto (x + 1) (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{2}{3}) = x^{3} - \frac{1}{6} x^{2} - \frac{5}{6} x + \frac{1}{3}

.

Dann gilt für alle

x \in [0, \frac{1}{2}],

dass

f' (x) = 3 x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{5}{6} = x (3 x - \frac{1}{3}) - \frac{5}{6} \leq \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{1}{3}) - \frac{5}{6} = \frac{7}{12} - \frac{10}{12} = - \frac{3}{12}

sowie

f' (x) = 3 x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{5}{6} = 3 {(x - \frac{1}{18})}^{2} - \frac{91}{108} \geq - \frac{91}{108}

und somit

\frac{3}{12} \leq | f' (x) | \leq \frac{91}{108}

.

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es nun

für alle

x, y \in [0, \frac{1}{2}]

ein

ξ \in [0, \frac{1}{2}],

sodass

| f (x) - f (y) | = | f' (ξ) | | x - y | \leq \frac{91}{108} | x - y |

.

Wegen

f (0) = \frac{1}{3}, f (\frac{1}{2}) = 0

und da

f

streng monoton fallend auf

[0, \frac{1}{2}]

ist,

gilt zudem

f ([0, \frac{1}{2}]) \subset [0, \frac{1}{2}]

.

Also ist

f

eine kontrahierende Selbstabbildung

mit Kontraktionskonstante

q := \frac{91}{108}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1585151

1585133

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?