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Lipschitz-Stetig

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Stetigkeit

Tags: Lipschitz-stetig, stetige Funktion

Sally aktiv_icon

18:28 Uhr, 17.01.2008

Hallo. Ich brauche dringend eure Hilfe bei der Beantwortung der folgenden Aufgabe:

Zeige, dass die Funktion sin: R -> R Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L=1 ist.

Hinweis: Es darf benutzt werden, dass |sin x| $\leq$ |x| für alle x $\in$ R gilt.

Danke schon mal im Voraus.

Johnathan aktiv_icon

18:42 Uhr, 17.01.2008

Hi Sally,

ein hübscher Trick ist unter Ausnutzung des Mittelwertsatzes. Demnach gibt es zu

x, y

und oBdA

x < y

ein

ξ \in [x, y]

, so dass

\frac{| \sin (x) - \sin (y) |}{| x - y |} = \sin^{'} (ξ) = \cos (ξ) .

\cos

zwischen -1 und 1 liegt folgt die Beh.

Liebe Grüße
J.

Johnathan aktiv_icon

19:09 Uhr, 17.01.2008

Hm,

irgendwie irritiert mich, dass man Du nicht antwortest ...

Solltest Du übrigens den Mittelwertsatz nicht voraussetzen dürfen, geht es auch mit den Additionstheoremem:

\sin x - \sin y = 2 \cos (\frac{x + y}{2}) \sin (\frac{x - y}{2}) \leq 2 \sin (\frac{x - y}{2}) \leq x - y

und analog für

\sin y - \sin x

.

Liebe Grüße
J.

Sally aktiv_icon

19:33 Uhr, 17.01.2008

Danke für die Hilfe.

Ich komme gerne drauf zurück.

Lg, Sally

Johnathan aktiv_icon

19:58 Uhr, 17.01.2008

gut ;-) Freu mich wenn es hilft.

Liebe Grüße

J.

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