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Lipschitz Stetigkeit zeigen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis

JaBaa aktiv_icon

17:53 Uhr, 17.12.2020

Hallo ans Forum,

ich habe folgende Aufgabe.

Sei

g

holomorph und beschränkt auf der Halbebene

{z \in ℂ | R (z) > 0}

. Beweise, dass

g

Lipschitz-stetig auf

{z \in ℂ | R (z) > c}

für jedes

c > 0

R (z) =

der Realteil

Aus meiner Vorlesung kenne ich den folgenden Satz.

Satz: Sei

z_{0} \in ℂ

und

r > 0

. Wenn

f

holomorph auf einer Umgebung

U_{r} (z_{0})

ist und

| f (z) | \leq M

für alle

z \in U_{r} (z_{0})

für ein

M > 0,

dann gilt für alle

n \in ℕ_{0}

| f^{(n)} (z_{0}) | \leq \frac{n!}{r^{n}} \cdot M

Nun denke ich, dass ich diesen Satz auf mein Problem anwenden könnte. Jetzt könnte ich mir doch für alle Punkte

z_{0} \in {z \in ℂ | R (z) > 0}

eine Umgebung

U_{c}

finden sodass der obige Satz erfüllt ist. Da

g

beschränkt ist gilt

| g (z) | < M

auf einer Umgebung

U_{c}

. Dies gilt natürlich für alle

z_{0}

da ich für alle

z_{0}

eine Umgebung

U_{c}

finden kann. Damit gilt dann für alle

z_{0}

| g^{'} (z_{0}) | \leq \frac{1}{c} \cdot M = L

Damit wäre die Ableitung doch beschränkt und damit Lipschitz-stetig überall. Oder mache ich es mir hier zu einfach ?

Ich hoffe jemand schaut mal drüber ;-) .

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

18:03 Uhr, 17.12.2020

"Jetzt könnte ich mir doch für alle Punkte

{z \in ℂ ∣ R (z) > 0}

eine Umgebung

U_{c}

finden sodass der obige Satz erfüllt ist."

Du meinst hier wohl

{z \in ℂ ∣ R (z) > c}

.
Dann ist es richtig, dass die Ableitung überall beschränkt ist.
Wie kommst du davon auf die Lipshitz-Stetigkeit?

JaBaa aktiv_icon

18:13 Uhr, 17.12.2020

Hmmm,

ja ich meine deine Aussage. Ich verstehe, aber deine letzte Frage nicht :-) . Kommen jetzt meine Wissenslücken aus den ersten beiden Semestern raus ;-) .

Also wenn die Ableitungen überall beschränkt sind, dann gibt es doch eine größte Steigung und damit ist Lipschitz-Stetigkeit doch sofort vorhanden oder habe ich einen Denkfehler ?

DrBoogie aktiv_icon

18:17 Uhr, 17.12.2020

Was ist eine Steigung einer Funktion im Komplexen?

In reellen Fall ist alles einfach, da gibt's Mittelwertsatz und der liefert die L-Stetigkeit, wenn Ableitung beschränkt ist. Im komplexen Fall gibt's zuerst mal keinen ähnlichen Satz.

JaBaa aktiv_icon

18:19 Uhr, 17.12.2020

Also kann ich die Aussage nicht auf diesem Weg zeigen oder habe ich nur eine falsche Abzweigung genommen ?

DrBoogie aktiv_icon

18:23 Uhr, 17.12.2020

Ich denke, dass es möglich ist, aber du musst es irgendwie auf den reellen Fall zurückführen.
Es gibt dazu interessanterweise ein recht frisches Artikel:
ejde.math.txstate.edu/Volumes/2012/34/cakmak.pdf

Andererseits vermute ich stark, dass es einen einfacheren Weg gibt.

DrBoogie aktiv_icon

18:26 Uhr, 17.12.2020

Kuck hier unten:
math.stackexchange.com/questions/1057632/complex-mean-value-theorem-counterexamples

UPDATE. Dein Bereich ist konvex (das wollte ich schreiben), das hilft.

JaBaa aktiv_icon

18:50 Uhr, 17.12.2020

Also kann ich meine Abschätzung ganz einfach machen:

Für alle

a, b \in A = {z \in ℂ | R (z) > 0}

gilt da A Konvex,

| g (a) - g (b) | = | \int_{0}^{1} \frac{d}{d t} (g (b + t (a - b))) d t |

(jetzt Kettenregel)

= | \int_{0}^{1} {g (b + t \cdot (a - b))}^{'} \cdot (a - b) d t | \leq \int_{0}^{1} | {g (b + t \cdot (a - b))}^{'} \cdot (a - b) | d t

= \int_{0}^{1} | {g (b + t \cdot (a - b))}^{'} | d t \cdot | a - b |

.

Jetzt wähle ich den ersten Faktor nach dem letzten Gleicheitszeichen als

L

und damit ist die Behauptung bewiesen.

Also gilt

| g (a) - g (b) | \leq L \cdot | a - b |

So ist der Beweis wohl dann richtig ?

DrBoogie aktiv_icon

19:18 Uhr, 17.12.2020

Ja, ist richtig

JaBaa aktiv_icon

19:20 Uhr, 17.12.2020

Super vielen Dank für deine Hilfe, nicht nur bei der Aufgabe, sondern auch auf den Hinweis, als ich etwas vom reellen auf das Komplexe übertragen wollte und es so nicht geht.

Viele Grüße

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