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Lipschitz-stetig? gleichmäßig stetig? stetig?

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Funktion, Stetigkeit

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21:39 Uhr, 09.01.2021

Ich weiß, dass der Beweis, bis eine Stetigkeit erfüllt ist, in der Reihenfolge erfolgen muss: Lipschitz-stetig? gleichmäßig stetig? stetig?

Leider fällt mir der Beweis für die Lipschitz-Stetigkeit sehr schwer, könnte mir da jemand helfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

23:09 Uhr, 09.01.2021

Wenn $\sqrt{x}$ Lipshitz-stetig wäre, würde ein $C$ existieren mit $∣ \sqrt{x} - \sqrt{y} ∣ \leq C ∣ x - y ∣$ . Insbesondere wäre $∣ \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} ∣ \leq C ∣ \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} ∣$ für alle natürliche $n$ . Multiplizieren diese Ungleichung mit $n^{2} (n + 1)^{2}$ und bekommen $n (n + 1) \leq C (2 n + 1)$ bzw. $C \geq \frac{n (n + 1)}{2 n + 1}$ . Das geht aber nicht, denn dieser Bruch ist unbeschränkt.

Wenn $\frac{1}{\sqrt{x}}$ Lipshitz-stetig wäre, würde ein $C$ existieren mit $∣ \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{y}} ∣ \leq C ∣ x - y ∣$ . Insbesondere wäre $∣ n - (n + 1) ∣ \leq C ∣ \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} ∣$ für alle natürliche $n$ , woraus $1 \leq C \frac{2 n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}$ und dann $C \geq \frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{2 n + 1}$ folgen würde. Das geht wiederum nicht.

Also sind beide nicht Lipshitz-stetig.

Shroud aktiv_icon

14:51 Uhr, 10.01.2021

Vielen Dank für die schnelle und sehr hilfreiche Antwort aber ich hab noch eine Frage, unzwar wie kommt man von dem |√x − √y| ≤ $C | x$ − $y |$ auf das $| n$ − $n + 1 |$ ≤ $C | \frac{1}{n^{2}}$ − $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}} |$ .

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15:26 Uhr, 10.01.2021

In nehme in beiden Fällen $x = 1 / n^{2}$ und $y = 1 / (n + 1)^{2}$ .

Shroud aktiv_icon

18:58 Uhr, 10.01.2021

Zur gleichmäßigen Stetigkeit in (ii):

Sei $ε > 0$ beliebig und $δ = ε^{2}$ mit $x, y$ ∈ von $] 0, \infty [$ mit $| x - y | < δ$
Es soll gelten $x = < y, \frac{1}{\sqrt{x}} = < \frac{1}{\sqrt{y}}$
$| \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{y}} | = \frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$
Wir wissen $0 < \frac{1}{x} = < \frac{1}{y} < \frac{1}{x} + ε^{2}$
$\frac{1}{y} < \frac{1}{x} + ε^{2} < \frac{1}{x} + \frac{e}{\sqrt{x}} + ε^{2} = {(\frac{1}{\sqrt{x}} + ε)}^{2}$ Wurzel ziehen:
$\frac{1}{\sqrt{y}} < \frac{1}{\sqrt{x}} + ε$
$\frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{x}} < ε$
folglich wäre die Funktion gleichmäßig stetig.
Ist das falsch und wenn ja wie würde das richtig aussehen?

DrBoogie aktiv_icon

19:16 Uhr, 10.01.2021

Sorry, ich kann es nicht nachvollziehen.
Aber auf jeden Fall ist $1 / \sqrt{x}$ NICHT gleichmäßig stetig auf $(0, \infty)$ . Sie ist nicht mal gleichmäßig stetig auf $(0, 1)$ .
Das kann man so beweisen: sei $x_{n} = 1 / n^{2}$ und $y_{n} = 1 / (4 n^{2})$ , dann $x_{n} - y_{n} \to 0$ , aber $∣ 1 / \sqrt{x_{n}} - 1 / \sqrt{y_{n}} ∣ = n \to \infty$ .

Shroud aktiv_icon

15:27 Uhr, 11.01.2021

Ok vielen Dank für die Hilfe!!

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