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Lipschitz-stetigkeit

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Lipschitz-stetig

8mileproof aktiv_icon

11:52 Uhr, 11.12.2011

hallo, ahb folgende frage.

a)

beweisen sie mithilfe des mittelwertsatzes : Ist

f : D - ℝ

steitig differenzierbar und ist

| f^{1} (x) |

auf

D

beschränkt, dann ist Lipschitz-stetig mit :

| f (x) - f (y) | = max_{x \in D} | f^{1} (z) | \cdot | x - y |

also meine ansätze dazu waren folgende:

der mittelwertsatz sieht so aus:

f^{1} (z) = \frac{f (x) - f (y)}{x - y} \Leftrightarrow f^{1} (z) \cdot (x - y) = f (x) - f (y) \Leftrightarrow f (x) - f (y) = f^{1} (z) \cdot (x - y)

laut voraussetzung ist

f (z)

stetig differenzierbar, also muss es eine ableitung

f^{1} (z)

. an dieser stelle habe ich noch zusätzlich den Satz von Rolle verwendet, um zu argumentieren. der satz von rolle besagt doch, zwischen 2 nullstellen einer funktion eine nullstelle der ableitung liegen muss. denn wenn der graph erst "nach oben" geht und dann wieder abfällt, denn es soll eine weitere nullstelle existieren, muss dazwischen irgendwo, also an der stelle

z,

ein extrempunkt liegen. wenn es wie vorhin beschrieben nach oben geht und dann wieder abfällt haben wir ein maximum.
so habe ich jedenfalls die stelle mit

max_{x \in D} f^{1} (z)

begründet, was ja (meiner meinung nach) heißen soll, dass es ein maximum sein soll.
nun komm ich zu den betragstrichen.
also laut voraussetzung soll ja

| f^{1} (x) |

auf

D

eschränkt sein. also kann ich ja meine betragstriche setzen und habe ja somit das hier

| f (x) - f (y) | = max_{x \in D} | f^{1} (z) | \cdot | x - y |

gezeigt. oder?

ich habs einfach mal so meine ideen zu dieser aufgabe aufgeschrieben, weil ich nicht wusste wie ich das mathematisch formal aufzuschreiben sollte. falls das falsch sein sollte(und das ist es mit sicherheit), dann wäre ich sehr froh über tipps, korrekturen etc.....

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

13:27 Uhr, 11.12.2011

Geht völlig in die richtige Richtung.

Nur dass es zwei Fehler in der Aufgabenstellung gibt:
1. Es ist gar nicht unbedingt der Fall, dass

| f^{1} (x) |

auf

D

ein Maximum annimmt.
Konkretes Gegenbeispiel: Sei

D = [0,1 [, f (x) = x^{2}, f' (x) = 2 x

.
Dann ist zwar

s u p_{x \in D} | f' (x) | = 2,

aber

max_{x \in D} | f' (x) |

existiert nicht!
2. Sei

D = ℝ \ ℤ

und

f (x) = {[x]}^{2},

wobei

[x]

die größte ganze Zahl

\leq x

bezeichne (Gaußklammerfunktion).
Dann ist

f

auf ganz

D

differenzierbar und es gilt

f' (x) = 0

für alle

x \in D, d . h

. die Voraussetzung ist erfüllt.
Dennoch gilt für

n \in ℤ, n \neq 0,

dass

\frac{| f (n + \frac{1}{2}) - f (\frac{1}{2}) |}{| (n + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} |} = \frac{| n^{2} - 0^{2} |}{| n |} = | n |

unbeschränkt,

f

also nicht lipschitzstetig ist.

Hast du vielleicht einen Teil der Voraussetzungen der Aufgabenstellung unterschlagen?

8mileproof aktiv_icon

14:36 Uhr, 11.12.2011

also ich hab das nochmal durchgelesen und sehe grad dass ich die aufgabe eins zu eins übernommen habe....hmmhhh..

edit: ach ich habe einen kleinen fehler....

es heißt:

| f (x) - f (y) | = max_{z \in D} | f^{1} (z) | \cdot | x - y |

hagman aktiv_icon

14:50 Uhr, 11.12.2011

Ähm, selbst das sollte wohl eher mit

\leq

als mit = geschrieben werden.

Nun, wenn die Aufgabenstellung exakt so da stand, wie du es angegeben hast, und es auch keine allgemeine Konvention bei euch gibt

(z . B

. "

D

steht im folgenden Kapitel immer für ein abgeschlossenes Intervall"), kannst du ja mit den angegebenen Gegenbeispielen antworten.

8mileproof aktiv_icon

15:39 Uhr, 11.12.2011

hi,
danke ersteinmal für die antwort. bei der hausaufgabe werde ich mal meine lösungen abgeben, nur um zu sehen was passiert.

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