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Lipschitzstetig mit f(0)=0 Banachraum

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Analysis, Funktionalanalysis, MATH, Mathematik

xam193 aktiv_icon

16:58 Uhr, 09.06.2021

Hallo!

Sei

X := {f : [- 1,1] \to ℝ | f

Lipschitz-stetig und

f (0) = 0}

ausgestattet mit

{| | f | |}_{L} = i n f {C | C

ist Lipschitzkonstante von

f}

.

Zu zeigen ist, dass

X

ein Banachraum ist. Ich konnte bereits zeigen, dass

X

ein Vektorraum ist und, dass

X

vollständig bzgl.

{| | \cdot | |}_{L}

ist. Nun ist noch zu zeigen, dass

{| | \cdot | |}_{L}

überhaupt eine Norm auf

X

definiert. Hier konnte ich bereits zeigen, dass aus

{| | f | |}_{L} = 0

folgt, dass

f = 0_{X}

ist. Hierbei nenne ich

0_{X}

die konstante Nullfunktion auf

[- 1,1]

.

Nun fehlt noch:

\forall f \in X

und

\forall a \in ℝ : {| | a f | |}_{L} = | a | {| | f | |}_{L}

und die Dreiecksungleichung.

Ich dachte mir bei der absoluten Homogenität (also

{| | a f | |}_{L} = | a | {| | f | |}_{L}),

dass es vielleicht trivial ist,
da in

{C | C

ist Lipschitzkonstante von

a \cdot f}

eben nur reelle Zahlen stehen und ich dann das a im Betrag einfach rausziehen kann. Ich denke aber nicht, dass es so leicht ist. Ich komme auch nicht rein logisch darauf, was genau ich da zeigen muss. Also ich wurde zunächst so starten:

| a (f (x) - f (y)) | = | a | \cdot | f (x) - f (y) | \leq C | x - y |

.

aber wo muss ich genau hin um die Behauptung zu gezeigt zu haben...

Also wenn man folgendes betrachtet:

lim_{x \to y} | a | \cdot \frac{| f (x) - f (y) |}{| x - y |} = | a | \cdot lim_{x \to y} \frac{| f (x) - f (y) |}{| x - y |},

dann sieht mir das schon nach ner Idee aus...

Wie ich das aber noch ausbaue, weiß ich leider nicht...

Bei der Dreiecksungleichung habe ich das gleiche Problem...

Danke für die Hilfe und LG

Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

19:41 Uhr, 09.06.2021

Die Beweise sind recht primitiv, aber etwas langwierig.

Also, die absolute Homogenität.
Sei

f

beliebig aus der Raum und

a \neq 0

beliebige Zahl (bei

a = 0

ist es trivial).
Aus der Definition haben: für jedes

ε > 0

gibt's ein L-Konstante

C

für

f

mit

C < ∥ f ∥_{L} + ε

. Damit haben

∣ a f (x) - a f (y) = ∣ a ∣ ∣ f (x) - f (y) ∣ \leq C ∣ a ∣ ∣ x - y ∣

, also ist

C ∣ a ∣

eine L-Konstante für

a f

. Damit ist

∥ a f ∥_{L} \leq C ∣ a ∣ < (∥ f ∥_{L} + ε) a

. Und das gilt für alle

ε > 0

. Daraus folgt

∥ a f ∥_{L} \leq ∣ a ∣ ∥ f ∥_{L}

.
Da

a \neq 0

ist, haben nach gerade Bewiesenem

∥ f ∥_{L} = ∥ a^{- 1} a f ∥_{L} \leq ∣ a^{- 1} ∣ ∥ a f ∥_{L}

, woraus

∣ a ∣ ∥ f ∥_{L} \leq ∥ a f ∥_{L}

folgt. Damit haben

∥ a f ∥_{L} = ∣ a ∣ ∥ f ∥_{L}

.

Dreiecksungleichung geht mit derselben Technik.

xam193 aktiv_icon

21:05 Uhr, 09.06.2021

Danke dann sollte ich auch die Dreiecksungleichung hinbekommen :-D)

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