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Lipschitzstetigkeit Abstandsfunktion

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

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11:24 Uhr, 20.02.2018

Folgendes muss ich beweisen:

Sei

(E, ∣ ∣ \cdot ∣ ∣)

ein normierter Raum und

M \subset E

nichtleer. Dann ist die Abstandsfunktion

d_{M} : E \to ℝ, d_{M} (x) = inf_{m \in M} ∣ ∣ x - m ∣ ∣

1-lipschitz.

Leider komme ich mit Definition der Lipschitzstetigkeit nicht wirklich weiter. Dazu weiß ich nicht wie ich mit der Infimumsfunktion umzugehen habe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

12:40 Uhr, 20.02.2018

Hallo
1. schreib einfach die Def. der L-Stetigkeit auf. dann benutze die Dreiecksungleichungf ür Beträge und am Ende inf.
Gruß ledum

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13:40 Uhr, 20.02.2018

Danke für den Tipp!
Ich habe es nun über die Dreiecksungleichungen probiert:

für alle

m \in M

gilt

∣ ∣ x - m ∣ ∣ \leq ∣ ∣ x - y ∣ ∣ + ∣ ∣ y - m ∣ ∣

nun kann links und rechts das Infimum gebildet werden, also Anwendung von Funktion

d_{M}

aus Vorraussetzung:

d_{M} (x) \leq ∣ ∣ x - y ∣ ∣ + d_{M} (y)

Äquivalenzumformung ergibt:

\Leftrightarrow d_{M} (x) - d_{M} (y) \leq ∣ ∣ x - y ∣ ∣ \Leftrightarrow ∣ ∣ d_{M} (x) - d_{M} (y) ∣ ∣ \leq 1 * ∣ ∣ x - y ∣ ∣

Somit ist die Funktion nach Definition 1-lipschitz.

Passt das so?
Muss ich die Normen näher definieren? also irgendwie so:

∣ ∣ . . . ∣ ∣_{E}

pwmeyer aktiv_icon

17:30 Uhr, 20.02.2018

Hallo,

Dein letztes

\Leftrightarrow

ist falsch, es handelt sich nicht um eine Äquivalenzumformung.

Du musst vielmehr Deine Überlegung noch einmal aufschreiben, aber dabei die Rollen von

x

und

y

vertauschen. Dann erhältst Du 2 Aussagen, die zusammen die Behauptung ergeben.

Im übrigen sind die

d (x)

reelle Zahlen, also geht es um

| d (x) - d (y) |

und nicht um irgendeine Norm (natürlich ist auch der Betrag eine Norm, aber

...)

Gruß pwm

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10:26 Uhr, 21.02.2018

Warum das letzte

\Leftrightarrow

keine Äquivalenzumformung ist verstehe ich.
Muss ich dann argumentieren, dass ich je nach dem ob

d (x) \leq d (y)

oder

d (x) > d (y)

x

und

y

vertauschen kann?

pwmeyer aktiv_icon

11:31 Uhr, 21.02.2018

Ja, kann man so sagen.

Formal ist es vielleicht etwas klarer:

Du hast gezeigt:

\forall x, y : d (x) - d (y) \leq | | x - y | |

Also auch

\forall x, y : d (y) - d (x) \leq | | y - x | | = | | x - y | |

Zusammen (da

p \leq q

und

- p \leq q \Rightarrow | p | \leq q)

| d (x) - d (y) | \leq | | x - y | |

Gruß pwm

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11:37 Uhr, 21.02.2018

Vielen Dank!
Jetzt ist alles klar!

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