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Lipschitzstetigkeit, Norm

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

ray11 aktiv_icon

18:42 Uhr, 15.04.2019

Hi, ich bräuchte etwas Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es seien

a, b \in ℝ

mit

a < b

. Weiters sei

B := {x \in ℝ^{2} : {| | x | |}_{\infty} \leq 1}

. Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen Lipschitz-stetig sind.
(a)

Φ : (C^{0} ([a, b]), {| | \cdot | |}_{1}) \to ℝ : f \mapsto \int_{a}^{b} f (x) d x,

wobei

p \in [1, \infty]

.
(b)

Ψ : (B, {| | \cdot | |}_{1}) \to (ℝ^{2}, {| | \cdot | |}_{1}) : {[x, y]}^{T} \mapsto {[2 x^{2} - y + 3, y^{2} - 2 x + 1]}^{T}

(c)

Ω : (B, {| | \cdot | |}_{\infty}) \to (ℝ^{2}, {| | \cdot | |}_{\infty}) : {[x, y]}^{T} \mapsto {[2 x^{2} - y + 3, y^{2} - 2 x + 1]}^{T}

für die

(c)

hätte ich folgendes:

z . z : | Ω {([x, y])}^{T} - Ω {([u, v])}^{T} | \leq L \cdot {| | (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) - (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) | |}_{\infty} = L (| x - u | + | y - v |)

| 2 x^{2} - y + 3 - 2 u^{2} + v - 3 | = | 2 (x^{2} - u^{2}) + (v - y) | \leq 2 | x^{2} - u^{2} | + | v - y |

(wegen

| x^{2} - u^{2} | = | x - u | | x + u |, | x + u | \leq | x | + | u | \leq {| | x | |}_{\infty} + {| | u | |}_{\infty} \leq 1 + 1 = 2)

\leq 4 | x - u | + | v - y | \leq 4 (| x - u | + | y - v |)

\Rightarrow L = 4

den zweiten Eintrag des Vektors analog auf

L = 4

führen.

Wäre das richtig so?

Bei

(a)

hab ich keine Ahnung wie ich anfangen soll und bei

(b)

würde das wohl so ähnlich aussehen nur statt der Maximumsnorm die 1-Norm oder?

lg ray

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

18:55 Uhr, 15.04.2019

Hallo,

bei

a)

schreib mal

Φ (f - g)

hin und

{| | f - g | |}_{1}

. Was hat es mit

p

auf sich, wo taucht das auf?

bei

c)

hat Du teilweise die Normen verwechselt, nämlich

{| | (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) - (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) | |}_{\infty} =

?

Gruß pwm

ray11 aktiv_icon

19:48 Uhr, 15.04.2019

Bei

a)

hätte ich ja dann

Φ (f - g) = | \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x |

{| | f - g | |}_{1} = | (a + b) - (c + d) |

?
Tja das

p

ist wohl ein Fehler in der Angabe, eventuell sollte bei der Norm statt

{| | \cdot | |}_{1}

die p-Norm

{| | \cdot | |}_{p}

stehen. Da aber alle Normen äquivalent sind sollte das keinen Unterschied machen?

Ah, ja

{| | (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) - (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) | |}_{\infty} = max {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})} - max {(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix})}

.

und

{| | (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) - (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) | |}_{1} = L (| x - u | + | y - v |)

?
Dann wäre mein Vorschlag für die

(c)

eigentlich für die

(b),

da dort das selbe nur mit der 1-Norm ist? Oder verwechsle ich da jetzt was?

Wo ich mir auch nicht sicher war ist ob man eben die Lipschitz-Konstante für die Vektoren zusammen oder so wie ich das gemacht habe für die ersten und zweiten Einträge getrennt machen muss?

pwmeyer aktiv_icon

11:32 Uhr, 17.04.2019

Hallo,

um

Φ (f - g)

weiter zu verarbeiten, musst Du Dir zwei Regeln für Integrale ins Gedächtnis rufen: Wie geht man mit der Summe von Integralen um? Wie kann man

| \int_{a}^{b} f |

abschätzen?

Deine Formel für

{| | f - g | |}_{1}

ist mir unverständlich, "rechts" kommt

f, g

gar nicht vor??

Deine Angabe zu

| |

. - .

| |_{\infty}

ist falsch. Es gilt nicht:

| | x - y | | = | | x | | - | | y | |,

und zwar praktisch nie.

Gruß pwm

ray11 aktiv_icon

18:13 Uhr, 18.04.2019

Naja die Summe von Integralen ist das Integral der Summe. Wie man

\int_{a}^{b}

abschätzen kann weiß ich nicht.

Wie würde denn die

(c)

dann richtig aussehen?
Bin wohl doch etwas überfragt.

pwmeyer aktiv_icon

18:37 Uhr, 18.04.2019

Hallo,

haken wir mal

a)

ab:

| Φ (f) - Φ (g) | = | \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x |

= | \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x | \leq \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x = 1 \cdot {| | f - g | |}_{1}

Also ist die Lipschitz-Konstante 1.

Gruß pwm

ray11 aktiv_icon

19:10 Uhr, 18.04.2019

Mir ist hier alles klar bis auf

\int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x = 1 \cdot {| | f - g | |}_{1}

Warum gilt das?

ledum aktiv_icon

22:49 Uhr, 18.04.2019

Was ist denn die 1 Norm? mehr steht doch da nicht.
Gruß edu

ray11 aktiv_icon

08:40 Uhr, 19.04.2019

Naja die 1 Norm ist einfach die Summe. Mir ist klar dass ein Integral auch nur eine Summe ist, aber warum werden die Grenzen nicht berücksichtigt bzw wo bleiben die?

ray11 aktiv_icon

09:16 Uhr, 19.04.2019

Ich habe jetzt mal die

(b)

probiert:

{| | (\begin{matrix} 2 x^{2} - y + 3 \\ y^{2} - 2 x + 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 u^{2} - v + 3 \\ v^{2} - 2 u + 1 \end{matrix}) | |}_{1} \leq L {| | (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) - (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) | |}_{1} = L (| x - u | + | y - v |)

| (2 x^{2} - y + 3) - (2 u^{2} - v + 3) + (y^{2} - 2 x + 1) - (v^{2} - 2 u + 1) |

= | 2 x^{2} - 2 u^{2} - y + v + y^{2} - 2 x - v^{2} + 2 u |

= | 2 (x^{2} - u^{2}) + (v - y) + (y^{2} - v^{2}) + 2 (u - x) |

\leq 2 | x^{2} - u^{2} | + | v - y | + | y^{2} - v^{2} | + 2 | u - x | = 2 | x - u | | x + u | + | v - y | + | y - v | | y + v | + 2 | u - x |

wegen

| x + u | = | x | + | u | = {| | x | |}_{1} + {| | u | |}_{1} \leq 1 + 1 = 2,

selbes für

| y + v |

\Rightarrow \leq 4 | x - u | + | v - y | + 2 | y - v | + 2 | u - x | = 6 | x - u | + 3 | y - v |

\leq 6 | x - u | + 6 | y - v | = 6 (| x - u | + | y - v |)

\Rightarrow

Lipschitz-Konstante

= 6

Das müsste doch so passen?

pwmeyer aktiv_icon

09:49 Uhr, 19.04.2019

Hallo,

"Naja die 1 Norm ist einfach die Summe." Was soll denn bei Funktionen eine Summe sein?? Vielleicht schaust Du mal in Deinen Unterlagen nach, wie

{| | f | |}_{1}

für Funktionen definiert ist.

Bei

b)

sind einige Begründungen falsch.

Zunächst muss es bei dem ersten Gleichheitszeichen heißen:

| 2 \cdot (x^{2}

−

u^{2}) + (v

−

y) | + | (y^{2}

−

v^{2}) + 2 \cdot (u

−

x) |

Das wirkt sich zwar bei diesem Beispiel nicht aus, muss aber so aufgeschrieben werden.

Die Begründung, warum

| x | \leq 1

ist, liegt an der Definition von

B,

ebenso

| u | \leq 1

.

Ansonsten ist dann auch

b)

erledigt.

Gruß pwm

ray11 aktiv_icon

10:28 Uhr, 19.04.2019

Wir haben die Norm einer Funktion

{| | f | |}_{1}

leider nicht definiert. Bei uns war das immer eine Abbildung.
Wie ist denn

{| | f | |}_{1}

definiert.

Ok, danke für die Info.
Dann werde ich noch

(c)

versuchen.

pwmeyer aktiv_icon

15:51 Uhr, 19.04.2019

Was ist der Unterschied zwischen der Abbildung und Funktion?

ray11 aktiv_icon

16:15 Uhr, 19.04.2019

Ich meinte die Norm an sich war eine Abbildung. Aber die Norm einer Funktion oder Abbildung hatten wir nicht definiert.

pwmeyer aktiv_icon

18:09 Uhr, 19.04.2019

Dann wäre die Aufgabe

a)

falsch gestellt.

ray11 aktiv_icon

07:44 Uhr, 20.04.2019

Naja auf jeden Fall hab ich den Weg bei

(a)

verstanden.

Für die

(c)

habe ich mir folgendes überlegt: Wir haben gezeigt dass auf

ℝ^{d}

alle Normen äquivalent sind. Somit ist die

{| | \cdot | |}_{\infty}

äquivalent zu

{| | \cdot | |}_{1}

und dann sieht der Beweis genau gleich aus wie der von der

(b)

. Richtig?

pwmeyer aktiv_icon

11:25 Uhr, 20.04.2019

Hallo,

aus der Äquivalenz der Normen folgt, dass Lipschitz-Stetigkeit bezüglich einer Norm die Lipschitz-Stetigkeit bezüglich der anderen Norm nach sich zieht. Die konkreten Abschätzungen und die erhaltenen Lipschitz-Konstanten können sich unterscheiden.

Gruß pwm

ray11 aktiv_icon

14:58 Uhr, 20.04.2019

Ok, danke.
Da bei der Aufgabenstellung nur nach der Lipschitz-Stetigkeit an sich gefragt ist, sollte es somit ausreichend sein und kein eigener Beweis notwendig.

Wie würde im Falle hier die Abschätzung aussehen?
Ich weiß nicht wie ich auf

{| | (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) - (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) | |}_{\infty}

komme.

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