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Lipschitzstetigkeit im Beweis Peano

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Anfangswertproblem, Funktionenfolgen, Lipschitzstetigkeit

 
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Lamy99

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15:43 Uhr, 08.04.2021

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Hallo,
ich soll den Beweis vom Satz von Peano durchgehen und einige Aufgaben dabei lösen, doch habe ich einige Fragen zu den Beweisvorgängen.

Peano sagt ja, dass es zu jedem Anfangswertproblem xʹ(t)=f(t,x(t)),x(t0)=x0 mindestens eine (aber nicht eindeutige) Lösung auf einem Lösungsintervall gibt, wenn f stetig ist.

Beim Beweis haben wir zuerst einen Euler-Polygonzug xn auf einer rechteckigen kompakten Menge A(t0,x0):={(t,x):t-t0h,x-x0k} definiert mit hkM, wobei M die Schranke f(t,x)M ist: diese stückweise lineare Funktionen heißen xn(t) mit einer Schrittweite hn.

Nun meine Schwierigkeiten, ich soll zeigen:
wegen ddtxn(t)M (außer an den Punkten t0,t0±hn,t0±2hn,...) folgt, dass xn Lipschitz auf [to-h,to+h] sind mit Lipschitzkonstante M und insbesondere befindet sich der Graph txn(t) in der Menge A(t0,x0).

ddtxn(t)M konnte ich nachvollziehen (Def. AWP und f(t,x(t)) ist der Gradient xʹ(t) der gesuchten Lösung), aber warum nicht an den Punkten t0 etc? Und ich weiß nicht, wie man die Lipschitzstetigkeit von xn zeigen soll, also dass xn(t)-xn(t)Mt-t für alle t,t[t0-h,t0+h]
Kann man die t's irgendwie mit h abschätzen? Und xn sind ja die approximierten Werte der Lösung, ich denke man muss dann irgendwie zeigen, dass kMh ist, dann wären diese - und somit auch der Graph - ja in A(t0,x0) enthalten.

Danke für jede Hilfe!!!!

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Lamy99

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18:14 Uhr, 08.04.2021

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UPDATE

die Lipschitzstetigkeit von xn habe ich einmal mit dem Satz "Eine differenzierbare Funktion ist Lipschitz-stetig ihre erste Ableitung beschränkt ist" und andererseits habe ich die Iterationsvorschrift der Euler-Polygonzüge äquivalent in eine Integralgleichung umgeformt und es abgeschätzt.

Problem nun:
Warum ist der Graph txn(t) der lipschitzstetigen xn in der Menge A(t0,x0) für t[t0-h,t0+h] ? Als Tipp war gegeben: wegen kMh, aber ich komme trotzdem nicht drauf...

Danke für jede Hilfe :-)

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pwmeyer

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18:31 Uhr, 08.04.2021

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Habe UPDATE zu spät gesehen

Hallo,

ich habe noch nicht alles von den Bezeichnungen verstanden, aber mal als Einstieg:

Auf den Intervallen [t0+ihn,t0+(i+1)hn] gilt |(xn)'(t)|M
Daraus folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialgleichung die Lipschitz-Stetigkeit auf diesen Intervallen:

|xn(t)-xn(s)|M|t-s|
Wenn jetzt t<s in zwei benachbarten Intervallen liegen, dann
|xn(t)-xn(s)||xn(t)-xn(t0+ihn)|+|xn(t0+ihn)-xn(s)|
M(t0+ihn-t)+M(s-(t0+ihn))=M(s-t)
So folgt die globale Lipschitz-Stetigkeit.

Gruß pwm
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pwmeyer

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18:36 Uhr, 08.04.2021

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Wenn
x(t)=x0+t0tf(s,x(s)ds
ist dann gilt doch
|x(t)-x0|t0tMdshMk

Eine analoge Abschätzung gilt auch für das PolygonzugVerfahren.

Gruß pwm

Lamy99

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18:40 Uhr, 08.04.2021

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Hallo, danke erstmal für deine Hilfe!! Ich habe noch einige Fragen:

Warum konntest du in deinem letzten Schritt die xn mit M abschätzen? M gilt ja nur für die Steigung.

Was, wenn s und t nicht benachbart sind?

Und zu meinem letzten Problem: Ich habe mir überlegt, dass M ja die Schranke der Steigung ist und t[t0-h,t0+h], wegen kMh bzw Mkh, kann der Graph der xn ja nicht in der vertikalen Achse weiter als k vom Ursprung (t0,x0) entfernt sein und somit nach Definition in der Menge A(to,x0) sein, oder?
Lamy99

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18:47 Uhr, 08.04.2021

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Ach, danke für deine Antwort zu dem kMh Problem!!
Ich habe den Polygonzug xn äquivalent in eine Integralgleichung umgeformt für den Lipschitzstetigkeitsbeweis:

xn(t)=x0+t0tf(tk,xn(tk))ds

Stimmt diese überhaupt?
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pwmeyer

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10:10 Uhr, 09.04.2021

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Hallo,

so ist das nicht richtig. Rechts taucht ein Parameter k auf, der irgendwie frei schwebend im Raum ist -k sollte ohnehin nicht benutzt werden, da es in der Aufgabenstellung anderweitig verwendet worden ist.

Gruß pwm
Lamy99

Lamy99 aktiv_icon

10:42 Uhr, 09.04.2021

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Hallo pwmeyer, danke für deine Antwort!

Ich habe noch zwei Rückfragen: in deinem ersten Beitrag zu meiner Frage hast du xn(t0+ihn)xn(s)M(s-(t0+ihn)) geschrieben, also xn mit M abgeschätzt, warum darf man das? Ich dachte M ist die Schranke für die Steigung von xn.

Und zu meiner äquivalenten Umformung des Polygonzuges in eine Integralgleichung. Kannst du mir da helfen?

Mein Ansatz war xn(t)=x0+t0tf(tm,xn(tm))ds (habe k zu m geändert), wobei tm<t<tm+1 ist mit m=0,1,...,n. Oder?
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pwmeyer

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11:54 Uhr, 09.04.2021

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Hallo,

"Ich dachte M ist die Schranke für die Steigung von x^n."

Ja, wenn allgemein s eine Abschätzung für x'(t) ist, dann gilt doch

|x(t1)-x(t2)|s|t1-t2|

Was die Definition von xn angeht, da gibt es verschiedene Varianten. Ich weiß nicht, ob Du eine Vorlage hast, dann solltest Du Dich daran halten. Es könnte sein, dass man rekursiv definiert:

xn(tm)=xn(tm-1)+hf(tm-1,xn(tm-1))

und dann die Funktion xn zwischen diesen Punkten tm linear interpoliert. Oder auch

xn(t)=xn(tm-1)+tm-1tf(s,xn(tm-1))ds für t[tm-1,tm]

oder ....

Gruß pwm

Lamy99

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12:07 Uhr, 09.04.2021

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Ah okay danke! Wegen der Definition von xn: in meiner Literatur gibt es leider keine Vorlage, aber meine Integralgleichung kann ich dann gut verwenden, um kMh zu zeigen, analog zu deinem Beitrag weiter oben. In meiner Literatur kommt später folgende Definition für xn:

xn(t)=x0+t0tf(P(s))ds

wobei P das linke Ende der jeweiligen Polygonzugstrecke ist (stelle später nochmal eine präzisere Frage zu P ins Forum).
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