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Hallo, ich soll den Beweis vom Satz von Peano durchgehen und einige Aufgaben dabei lösen, doch habe ich einige Fragen zu den Beweisvorgängen.
Peano sagt ja, dass es zu jedem Anfangswertproblem mindestens eine (aber nicht eindeutige) Lösung auf einem Lösungsintervall gibt, wenn f stetig ist.
Beim Beweis haben wir zuerst einen Euler-Polygonzug auf einer rechteckigen kompakten Menge definiert mit , wobei M die Schranke ist: diese stückweise lineare Funktionen heißen mit einer Schrittweite .
Nun meine Schwierigkeiten, ich soll zeigen: wegen (außer an den Punkten ) folgt, dass Lipschitz auf sind mit Lipschitzkonstante und insbesondere befindet sich der Graph in der Menge .
konnte ich nachvollziehen (Def. AWP und ist der Gradient der gesuchten Lösung), aber warum nicht an den Punkten etc? Und ich weiß nicht, wie man die Lipschitzstetigkeit von zeigen soll, also dass für alle Kann man die t's irgendwie mit h abschätzen? Und sind ja die approximierten Werte der Lösung, ich denke man muss dann irgendwie zeigen, dass ist, dann wären diese - und somit auch der Graph - ja in enthalten.
Danke für jede Hilfe!!!!
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UPDATE
die Lipschitzstetigkeit von habe ich einmal mit dem Satz "Eine differenzierbare Funktion ist Lipschitz-stetig ihre erste Ableitung beschränkt ist" und andererseits habe ich die Iterationsvorschrift der Euler-Polygonzüge äquivalent in eine Integralgleichung umgeformt und es abgeschätzt.
Problem nun: Warum ist der Graph der lipschitzstetigen in der Menge für ? Als Tipp war gegeben: wegen , aber ich komme trotzdem nicht drauf...
Danke für jede Hilfe :-)
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Habe UPDATE zu spät gesehen
Hallo,
ich habe noch nicht alles von den Bezeichnungen verstanden, aber mal als Einstieg:
Auf den Intervallen gilt Daraus folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialgleichung die Lipschitz-Stetigkeit auf diesen Intervallen:
Wenn jetzt in zwei benachbarten Intervallen liegen, dann So folgt die globale Lipschitz-Stetigkeit.
Gruß pwm
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Wenn ist dann gilt doch
Eine analoge Abschätzung gilt auch für das PolygonzugVerfahren.
Gruß pwm
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Hallo, danke erstmal für deine Hilfe!! Ich habe noch einige Fragen:
Warum konntest du in deinem letzten Schritt die mit M abschätzen? M gilt ja nur für die Steigung.
Was, wenn und nicht benachbart sind?
Und zu meinem letzten Problem: Ich habe mir überlegt, dass M ja die Schranke der Steigung ist und , wegen bzw , kann der Graph der ja nicht in der vertikalen Achse weiter als k vom Ursprung entfernt sein und somit nach Definition in der Menge sein, oder?
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Ach, danke für deine Antwort zu dem Problem!! Ich habe den Polygonzug äquivalent in eine Integralgleichung umgeformt für den Lipschitzstetigkeitsbeweis:
Stimmt diese überhaupt?
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Hallo,
so ist das nicht richtig. Rechts taucht ein Parameter auf, der irgendwie frei schwebend im Raum ist sollte ohnehin nicht benutzt werden, da es in der Aufgabenstellung anderweitig verwendet worden ist.
Gruß pwm
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Hallo pwmeyer, danke für deine Antwort!
Ich habe noch zwei Rückfragen: in deinem ersten Beitrag zu meiner Frage hast du geschrieben, also mit abgeschätzt, warum darf man das? Ich dachte ist die Schranke für die Steigung von .
Und zu meiner äquivalenten Umformung des Polygonzuges in eine Integralgleichung. Kannst du mir da helfen?
Mein Ansatz war (habe zu geändert), wobei ist mit . Oder?
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Hallo,
"Ich dachte ist die Schranke für die Steigung von x^n."
Ja, wenn allgemein eine Abschätzung für ist, dann gilt doch
Was die Definition von angeht, da gibt es verschiedene Varianten. Ich weiß nicht, ob Du eine Vorlage hast, dann solltest Du Dich daran halten. Es könnte sein, dass man rekursiv definiert:
und dann die Funktion zwischen diesen Punkten linear interpoliert. Oder auch
für
oder .
Gruß pwm
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Ah okay danke! Wegen der Definition von : in meiner Literatur gibt es leider keine Vorlage, aber meine Integralgleichung kann ich dann gut verwenden, um zu zeigen, analog zu deinem Beitrag weiter oben. In meiner Literatur kommt später folgende Definition für :
wobei das linke Ende der jeweiligen Polygonzugstrecke ist (stelle später nochmal eine präzisere Frage zu ins Forum).
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