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Lissajous-Selbstüberschneidungen

Universität / Fachhochschule

Tags: Lissajous

Sukomaki aktiv_icon

11:13 Uhr, 15.10.2020

Hallo,

ich beschäftige mich zur Zeit mit Knoten-Theorie.

Insbesondere frage ich mich, wie ich die Anzahl der
Selbstüberschneidungen in einem Lissajous-Diagramm
analytisch oder numerisch berechnen kann.

Ich gehe so vor, dass ich zwei mal die selbe Lissajous-
Kurve durchgehe und vergleiche anhand des Winkels zwischen
den Kurvenfragmenten, ob sie sich schneiden.

Auf der Grafik seht Ihr, dass mein Algorithmus nicht
100%-ig funktioniert. D.h. es werden falsche Punkte
markiert und manche richtige ignoriert :-(

Weiß jemand da etwas zu?

Gruß
Maki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

12:28 Uhr, 15.10.2020

Hallo Maki
1.wie gibst du die Kurven vor?
2. dein Vorgehen verstehe ich nicht.
eigentlich sind Knoten doch

3 d,

willst du nur die Kreuzungen so zeichnen, dass man das deutlich sieht, oder brauchst du wirklich die Kreuzungspunkte? In den Zeichenprogrammen für

3 d

Objekte macht man das mit der Reihenfolge des Zeichnens und dazugehörigen Tricks.
siehe Bild.
Gruß ledum

Sukomaki aktiv_icon

16:05 Uhr, 15.10.2020

Also,

ich programmiere zwei geschachtelte Schleifen, die durch die Kurve

K_{1} := (\begin{array}{rcl} \cos (\frac{2 π p s}{g}) \\ \sin (\frac{2 π q s}{g}) \end{array})

(s \in [0, 1])

bzw.

K_{2} := (\begin{array}{rcl} \cos (\frac{2 π p t}{g}) \\ \sin (\frac{2 π q t}{g}) \end{array})

(t \in [s, 1])

mit

g = g g T (p, q)

wandern.

Ich schau, ob die Punkte

P_{1}

von

K_{1}

und

P_{2}

von

K_{2}

in einem kleinen
Abstand zueinander stehen.

Dann bestimme ich den Winkel zwischen den Differenzquotienten an

P_{1}

bzw.

P_{2}

.
Wenn er groß ist, handelt es sich um einen Schnitt. Wenn er klein ist, dann befinden
sich

P_{1}

und

P_{2}

auf dem gleichen Kurven-Fragment.

Zuletzt prüfe ich, ob der Schnittpunkt schon in einer Liste ist, damit er nicht mehrfach
gezählt wird. Wenn er noch nicht in der Liste ist, wird er in die Liste aufgenommen und
die Anzahl der Selbstschnitte um Eins erhöht.

Mir ist klar, dass das Vorgehen nicht unbedingt elegant ist.

Weiß jemand einen schöneren Ansatz?

ledum aktiv_icon

16:39 Uhr, 15.10.2020

Hallo
ich hatte meine Antwort ergänzt, bevor ich deine sah.
Aber noch mal, Knoten sind doch eigentlich was in

3 d

und keine

2 d

Kurven?
also etwa

d, e, f

ganz

x (t) := a

· sin(2π ·

d

t)

y (t) := b

· sin(2π ·

e

t + g)

z (t) :=

aa · sin(2π · f·

t + c)

dann mit dem Zeichnen die Kreuzungspunkte auszeichnen, ohne sie zu berechnen.Oder warum willst du sie kennen?
Gruß ledum

HAL9000

16:44 Uhr, 15.10.2020

> Zuletzt prüfe ich, ob der Schnittpunkt schon in einer Liste ist, damit er nicht mehrfach gezählt wird.

Du meinst, die Kurve könnte erneut durch einen bereits vorhandenen Schnittpunkt steuern, d.h., dass es Punkte gibt durch die mindestens drei Kurvenstücke verlaufen? Ich denke, sowas kommt bei Lissajous innerhalb eine Periodenintervalls nicht vor.

Tatsächlich kann man unter Berücksichtigung von Periodizität und Symmetrie der Sinus- und Kosinusfunktion die Schnittpunkte zu gegebenen

p, q

exakt ausrechnen und auf diese Weise dann auch zählen.

Sukomaki aktiv_icon

17:06 Uhr, 15.10.2020

Nee, das mit der Liste ist anders gemeint. In der Tat glaube ich nicht, dass
eine Lissajous-Kurve mehrfach durch denselben Punkt steuert.

Die Liste dient nur programmintern dazu, die einfachen Schnittpunkte zu verwalten.

@ledum

Ich suche tatsächlich die Kreuzungspunkte in 2d.
Eine Anwendung dafür sehe ich nicht - reine Neugier.

@HAL9000

Wie funktioniert das?

Z.B. sind gesucht die Kreuzungspunkte von

(\begin{array}{rcl} \cos (2 π \cdot 4 t) \\ \sin (2 π \cdot 10 t) \end{array})

innerhalb einer Periode

(t \in [0, \frac{1}{2}])

.

Die Intervallgrenze liegt bei

\frac{1}{2}

wegen

g g T (4, 10) = 2

.

Wie kann ich die trigonomischen Eigenschaften (Symmetrie, Periodizität) benutzen,
um die Schnittpunkte für

p = 4

und

q = 10

exakt auszurechnen?

HAL9000

12:21 Uhr, 16.10.2020

Wir betrachten die Kurve

g (t) = (\cos (2 π p t), \sin (2 π q t))

für

t \in [0, 1)

erstmal nur für positive teilerfremde

p < q

(der Fall

p = q = 1

ist trivial: ein Kreis).

Schnittpunkt bedeutet, dass es Zeitpunkte

t_{1} < t_{2}

gibt mit

(x) : \cos (2 π p t_{1}) = \cos (2 π p t_{2})

, d.h. es existiert eine positive ganze Zahl

k

mit

p t_{2} = p t_{1} + k

oder

p t_{2} = - p t_{1} + k

(y) : \sin (2 π q t_{1}) = \sin (2 π q t_{2})

, d.h. es existiert eine positive ganze Zahl

l

mit

q t_{2} = q t_{1} + l

oder

q t_{2} = - q t_{1} + l - \frac{1}{2}

.

Problematisch ist der Fall "

p

gerade und

q

ungerade": Im Gegensatz zu allen anderen Fällen wird hier für

0 \leq t < 1

jeder Kurvenpunkt ZWEIMAL durchlaufen:

Für

0 \leq t \leq \frac{1}{4}

ist dort

g (\frac{1}{2} - t) = g (t)

, und für

\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{3}{4}

entsprechend

g (\frac{3}{2} - t) = g (t)

.

D.h., in diesem Fall sollte man sich zur Vermeidung von Mehrfachzählungen der Schnittpunkte auf

\frac{1}{4} \leq t_{1} < t_{2} \leq \frac{3}{4}

, in allen anderen

(p, q)

-Parameterfällen jedoch auf

0 \leq t_{1} < t_{2} < 1

beschränken. (*)

Jetzt diskutiert man die für jeden Gitterpunkt

(k, l)

die gemäß (x)(y) möglichen

2^{2} = 4

Kreuzkombinationen an linearen Gleichungssystemen für das Zeitpunktpaar

(t_{1}, t_{2})

. Uns interessieren aber lediglich die Gitterpunkte

(k, l)

mit Lösungen

(t_{1}, t_{2})

, welche (*) erfüllen, alle anderen sind irrelevant für unser Zählproblem. Da man auch vernünftige obere Schranken für

k, l

findet (abhängig von

p, q

) kann man ja auf diese Weise diese endlich vielen Gitterpunkte abklappern und die "gültigen" zählen.

Mit dieser Methode (Details später) habe ich die Schnittpunktanzahl

N = \sum_{l = 1}^{q - 1} (⌈ \frac{p (2 q - l)}{q} ⌉ - ⌈ \frac{p l}{q} ⌉) + \sum_{k = 1}^{p - 1} (⌈ \frac{p (4 q + 1) - 2 k q}{2 p} ⌉ - ⌈ \frac{p + 2 k q}{2 p} ⌉) (* *)

bekommen, die allerdings NICHT für den oben erwähnten Ausnahmefall "

p

gerade und

q

ungerade" gilt - dort muss man das ganze nochmal durchdenken und vor allem -rechnen...

Formel (**) ohne Gewähr - vielleicht kann das einer mal nachprüfen. Bei gefundenen Gegenbeispielen natürlich Asche auf mein Haupt. ;-)

EDIT: Ok, hab mich nun auch durch den Restfall "

p

gerade und

q

ungerade" gekämpft und dafür die noch sperrigere Formel

N = \sum_{l = 1}^{\frac{q - 1}{2}} (⌊ \frac{p (3 q - 2 l)}{2 q} ⌋ - ⌈ \frac{p (q + 2 l)}{2 q} ⌉ + 1) + \sum_{k = 1}^{\frac{p}{2}} (⌊ \frac{p (3 q + 1) - 2 k q}{2 p} ⌋ - ⌈ \frac{p (q + 1) + 2 k q}{2 p} ⌉ + 1) (* * *)

gefunden. Auch hier natürlich ohne Gewähr. Für

p = 2, q = 5

bekommt man damit

N = 2

.

Die Schnittpunkte selbst kann man damit natürlich auch berechnen, da die dazu notwendigen Paare

(k, l)

quasi nebenbei mit abfallen - aber ich hatte deinen Originalpost so verstanden, dass es dir in erster Linie nur auf deren ANZAHL ankommt.

Und möglicherweise lassen sich für die Formeln (**) und (***) auch viel, viel einfachere Darstellungen in den Argumenten

p, q

finden - hab das einfach noch nicht gründlich untersucht. Mein Verdacht ist

N = 2 p q - p - q (* *)

bei (***) bin ich mir über eine Vereinfachung noch nicht im klaren, aber da müsste auch was drin sein.

Sukomaki aktiv_icon

13:20 Uhr, 17.10.2020

Hallo,

ich muss ehrlich sagen, ich fühle mich ein wenig erschlagen von Deinen Formeln.

Und leider muss ich erwähnen, dass ich für

p = 2

eine Anzahl von Schnittpunkten erhalte,
die mit keiner der beiden Summen übereinstimmt.

Für

p = 1

liefert deine Formel den korrekten Wert

q - 1

.

Aber für

p = 2

sollte

N = ⌊ \frac{q - 1}{2} ⌋

herauskommen.

Hast Du Dir die Lissajous-Diagramme mal plotten lassen?

Im Anhang sind die Kurven zu

p = 2

und

q

von

1

bis

11

zu sehen.

Auch mache ich mir wenig Hoffnung, was die Gültigkeit von

N = 2 p q - p - q

angeht.

Ich hege den Verdacht, dass die Kurve zu

p, q

identisch ist mit
der zu

\frac{p}{g g T (p, q)}, \frac{q}{g g T (p, q)}

.

Das vereinfacht schon einmal die Schnittpunkt-Funktion für bestimmte
Werte von

p

und

q

HAL9000

14:34 Uhr, 17.10.2020

> Auch mache ich mir wenig Hoffnung, was die Gültigkeit von

N = 2 p q - p - q

angeht.

Ich bitte um die KONKRETE Nennung wenigstens EINES Paares

(p, q)

von teilerfremden

p, q

, wo

p

ungerade ist und wo Formel (**) nicht gilt. Denn "wenig Hoffnung" ist für mich nur sinnleeres Blabla und kann ein echtes Gegenbeispiel nicht ersetzen.

> Aber für

p = 2

sollte

N = ⌊ \frac{q - 1}{2} ⌋

herauskommen.

Auch hier: Nenne mir ein KONKRETES ungerades

q

, so dass Formel (***) mit diesem

q

sowie

p = 2

NICHT den Wert

\frac{q - 1}{2}

liefert. (Ich hab es mit

q = 1, 3, 5, \dots, 997, 999

probiert, und es kam stets der korrekte Wert heraus.)

> Ich hege den Verdacht, dass die Kurve zu

p, q

identisch ist mit der zu

\frac{p}{g g T (p, q)}, \frac{q}{g g T (p, q)}

. Das vereinfacht schon einmal die Schnittpunkt-Funktion für bestimmte Werte von

p

und

q

.

Na klar ist das so. Was denkst du, warum ich von vornherein nur teilerfremde

p, q

betrachte? Weil das aus eben diesen Gründen völlig ausreichend ist. ;-)

Ich merke gerade eben, dass meine obiger Ausgangspunkt

p < q

gar nicht nötig war - Teilerfremdheit reicht, d.h., die Formeln sollten auch für

p > q

gelten.

P.S.: Du hast dir auch WIRKLICH gut durchgelesen, unter welchen Bedingungen an

p, q

die Formeln (**) sowie (***) jeweils gültig sind? Und dass ich sowohl die Abrundungsfunktion

⌊ \dots ⌋

als auch die Aufrundungsfunktion

⌈ \dots ⌉

in den Formeln verwende?

EDIT: Ich hab mir inzwischen auch noch Gedanken um die Vereinfachung von (***) gemacht und komme zur generellen Schnittpunktanzahl

N (p, q) = {\begin{array}{ll} 2 p q - p - q & falls p ungerade \\ \frac{1}{2} (p - 1) (q - 1) & falls p gerade \end{array}

,

wie oben wird aber zusätzlich

g g T (p, q) = 1

gefordert (aber nicht mehr

p < q

Sukomaki aktiv_icon

17:20 Uhr, 17.10.2020

Hi,

tut mir leid, da war ich wohl etwas voreilig mit meinen Kritikpunkten.

Vor lauter Rundungsfunktionen habe ich in der zweiten Formel den Einsatz
von der Abrundungsfunktion für eine Aufrundungsfunktion gehalten.

Auch stimmt Deine einfache Defintion von

N (p, q)

soweit ich das sehe.

Du hast mir noch Details versprochen, wie Du auf (**) gekommen bist.

Auch würde mich noch interessieren, wie Du auf

N (p, q) = {\binom{2 p q - p - q falls p ungerade}{\frac{1}{2} (p - 1) (q - 1) falls p gerade}

kommst. Trial and Error oder symbolische Umformung? Was ich mir eigentlich
nicht vorstellen kann wegen der Rundungsfunktionen.

> wie oben wird aber zusätzlich

g g T (p, q) = 1

gefordert

Das heisst : die allgemeine Schnittpunkts-Funktion lautet :

N (p, q) = {\binom{2 p ʹ q ʹ - p ʹ - q ʹ falls p' ungerade}{\frac{1}{2} (p ʹ - 1) (q ʹ - 1) falls p' gerade}

wobei

p ʹ = \frac{p}{g g T (p, q)}

und

q ʹ = \frac{q}{g g T (p, q)}

HAL9000

09:10 Uhr, 19.10.2020

Ja, es ist

N (p, q) = N (\frac{p}{ggT (p, q)}, \frac{q}{ggT (p, q)})

, damit ist deine Formel unten richtig.

Wie ich auf die ursprünglichen Summenformeln (**) und (***) gekommen bin, habe ich oben im wesentlichen schon skizziert:

Zunächst zum Fall "

p

ungerade", also Formeln (**). Die Kombination

p t_{2} = - p t_{1} + k, q t_{2} = q t_{1} + l

hat die Lösung

t_{1} = \frac{q k - p l}{2 p q}, t_{2} = \frac{q k + p l}{2 p q}

.

Die Bedingung

0 \leq t_{1} < t_{2} < 1

ist nun genau für die Paare

(k, l)

ganzer Zahlen erfüllt, für die

1 \leq l \leq q - 1

sowie

⌈ \frac{p l}{q} ⌉ \leq k < ⌈ \frac{p (2 q - l)}{q} ⌉

erfüllt ist. (**1)

Analog ergibt sich für die Kombination

p t_{2} = p t_{1} + k, q t_{2} = - q t_{1} + l - \frac{1}{2}

die Lösung

t_{1} = \frac{p (2 l - 1) - 2 q k}{4 p q}, t_{2} = \frac{p (2 l - 1) + 2 q k}{4 p q}

.

Die Bedingung

0 \leq t_{1} < t_{2} < 1

ist nun genau für die Paare

(k, l)

ganzer Zahlen erfüllt, für die

1 \leq k \leq p - 1

sowie

⌈ \frac{p + 2 k q}{2 p} ⌉ \leq l < ⌈ \frac{p (4 q + 1) - 2 k q}{2 p} ⌉

gilt. (**2)

Die anderen beiden Kombinationen "

p t_{2} = p t_{1} + k, q t_{2} = q t_{1} + l

" sowie

p t_{2} = - p t_{1} + k, q t_{2} = - q t_{1} + l - \frac{1}{2}

" besitzen keine Lösungen, die der Bedingung

0 \leq t_{1} < t_{2} < 1

genügen.

(**1) und (**2) zusammengezählt ergibt sich die Summendarstellung von (**).

Genau dieselbe Ochsentour durchläuft man beim Fall "

p

gerade", nur dass man dort (wie oben erwähnt) nur

\frac{1}{4} \leq t_{1} < t_{2} \leq \frac{3}{4}

betrachtet, weil man ja nicht (wie oben schon erläutert) Schnittpunkte mehrfach zählen will.

Die vereinfachten Darstellungen habe ich erstmal nur durch Sichtung des empirischen Zahlenmaterials auf Basis der Summendarstellungen von (**) und (***) erraten. Man kann die sicherlich auch auf Basis dieser Darstellungen nachweisen, dabei muss man vermutlich diese Gaußklammersummanden geschickt zusammenfassen, evtl. muss man dazu Terme verschiedener Indizes heranziehen.

Sukomaki aktiv_icon

09:38 Uhr, 20.10.2020

So langsam verstehe ich Deine Herangehensweise.
Dennoch habe ich noch so manche Unklarheiten :

Laut (**1) ist

1 \leq l \leq q - 1

und

⌈ \frac{p l}{q} ⌉ \leq k < ⌈ \frac{p (2 q - l)}{q} ⌉

Laut (**2) ist

1 \leq k \leq p - 1

und

⌈ \frac{p + 2 k q}{2 p} ⌉ \leq l < ⌈ \frac{p (4 q + 1) - 2 k q}{2 p} ⌉

Wie kommt es, dass die Zahlenpaare

(k, l)

disjunkt sind?

Du benutzt in der zweiten Summenformel (***)

⌊ \dots ⌋ + 1

statt

⌈ \dots ⌉

. Warum?

HAL9000

10:25 Uhr, 20.10.2020

> Wie kommt es, dass die Zahlenpaare

(k, l)

disjunkt sind?

Nicht die

(k, l)

müssen disjunkt sein, sondern die zugehörigen Schnittpunkte. Keiner der Schnittpunkte aus der ersten Gruppe (**1) stimmt aber mit irgendeinem der Schnittpunkte aus der zweiten Gruppe (**2) überein - schau dir das mal genau an!

> Du benutzt in der zweiten Summenformel (***)

⌊ \dots ⌋ + 1

statt

⌈ \dots ⌉

. Warum?

Das resultiert letztlich aus den Umformungen von

\leq \frac{3}{4}

in diesem Fall statt

< 1

. Wenn es

< \frac{3}{4}

gewesen wäre, stände da auch

⌈ \dots ⌉

.

Letztlich ist es vermutlich egal, weil

t = \frac{3}{4}

dann doch nicht als Schnittpunkt in Frage kommt: Das repräsentiert nämlich eines dieser beiden "losen" Enden im Lissajous-Graphen, wie man sie oben bei dir in den Beispielen

q = 1, 3, 5, \dots

sehen kann. Dennoch habe ich es konsequenterweise erstmal so drin gelassen.

P.S. Dabei "zähle" ich folgendermaßen:

Für

u < v

ist die Anzahl der ganzzahligen Werte

k

mit

u \leq k < v

gleich

⌈ v ⌉ - ⌈ u ⌉

.

Für

u < v

ist die Anzahl der ganzzahligen Werte

k

mit

u \leq k \leq v

hingegen gleich

⌊ v ⌋ + 1 - ⌈ u ⌉

.

Wenn

v

nicht ganzzahlig ist, müssen beide Formeln das gleiche Ergebnis liefern - was sie auch tun.

Sukomaki aktiv_icon

18:25 Uhr, 20.10.2020

Ich schreibe vollständigkeitshalber noch einmal die vier linearen Schnittpunkt-Gleichungen auf :

G_{1} := p t_{2} = p t_{1} + k

G_{2} := p t_{2} = - p t_{1} + k

G_{3} := q t_{2} = q t_{1} + l

G_{4} := q t_{2} = - q t_{1} + l - \frac{1}{2}

Die Lösungen der Kombination von

G_{2}

und

G_{3}

lauten :

t_{1} = \frac{q k - p l}{2 p q}, t_{2} = \frac{q k + p l}{2 p q}

Die Lösungen der Kombination von

G_{1}

und

G_{4}

lauten :

t_{1} = \frac{p (2 l - 1) - 2 q k}{4 p q}, t_{2} = \frac{p (2 l - 1) + 2 q k}{4 p q}

Durch Gleichsetzung der Lösungen für

t_{1}

bzw.

t_{2}

erhalte ich die Gleichungen :

G_{5} := \frac{q k - p l}{2 p q} = \frac{p (2 l - 1) - 2 q k}{4 p q}

G_{6} := \frac{q k + p l}{2 p q} = \frac{p (2 l - 1) + 2 q k}{4 p q}

Die Kombination von

G_{5}

und

G_{6}

hat keine Lösung.
(Eigentlich reicht auch schon - wenn ich mich nicht irre -

G_{6}

aus,
weil deren einzige potenzielle Lösung

p = 0

ist, und dort ist

G_{6}

nicht definiert)

\Rightarrow

Die Schnittpunkte aus Gruppe eins und zwei sind disjunkt.

Warum Du

⌊ \dots ⌋ + 1

statt

⌈ \dots ⌉

verwendest, ist mir jetzt auch klar.

Im Nachhinein betrachtet ist das sogar recht einfach und logisch.

Sukomaki aktiv_icon

20:44 Uhr, 21.10.2020

Sorry für's Nachhaken, aber stimmt das so?

Sukomaki aktiv_icon

10:27 Uhr, 23.10.2020

Vielen Dank an HAL9000,

du hast mir gut geholfen.

Ich weiß zwar immer noch nicht, ob mein letzter Post korrekt ist,
aber wenigstens habe ich das Konzept verstanden, wie man auf die
Anzahl der Schnittpunkte kommt :-)

HAL9000

11:49 Uhr, 23.10.2020

Ja, mir kam es eigentlich auch nur drauf an die Idee zu verdeutlichen, dass man die aus der Gleichheit der Kurvenpunkte erforderlichen Sinus- bzw. Kosinusgleichheiten direkt über die Periodizität bzw. Symmetrie der Sinus- und Kosinusfunktion auf das (im Detail dann mühsame) Betrachten/Zählen von Gitterpunkten zurückführen kann.

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