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Lösbarkeit R^4->R^3? Injektiv?
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Injektivität, Linear Abbildung, Lösbarkeit
 
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Hallo zusammen, ich soll bei 1. erklären was es bedeutet wenn ein inhomogenes LGS mit für alle lösbar ist. Ich weiß leider nicht was es zu bedeuten hat. Beim umstellen und ausrechnen kam raus. Heißt es, dass es eine eindeutige Lösung hat? Oder unendlich viele Lösungen je nachdem was ist? Bei 2. habe ich ausgerechnet und kam zu einem Ergebnis: Also: Ich soll begründen ob injektiv ist, mit erklärung. Wie sehe ich ob es um eine injektive und/oder surjektive Abbildung handelt? Als Notiz habe ich stehen wenn Kern ist dann ist die Abbildung injektiv. Kann ich es hiermit irgendwie begründen oder gibt es eine andere Methode? Grundsätzlich habe ich große Verständnisprobleme was Injektivität/Surjektivität angeht. **Jeder Hinweis zu diesem Thema wäre enorm hilfreich!**  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Hallo zusammen, ich soll bei 1. erklären was es bedeutet wenn ein inhomogenes LGS A⋅x=b mit R4→R3 für alle b∈R3 lösbar ist. Ich weiß leider nicht was es zu bedeuten hat." Das bedeutet, dass surjektiv ist. Und zwar per Definition. Denn surjektiv genau dann, wenn für jedes aus dem Zielraum ein existiert mit . de.wikipedia.org/wiki/Surjektive_Funktion Und ist dasselbe wie , das bedeutet nämlich, dass durch definiert ist. "Beim umstellen und ausrechnen kam x1=b raus." Da hast du etwas komplett falsch gemacht. Denn ist eine Zahl, aber ein Vektor. Sie können gar nicht gleich sein. "Bei 2. habe ich ausgerechnet und kam zu einem Ergebnis: x1=83 x2=−53−32⋅x4 x3=53+34⋅x4 x4=x4 Also: x=(83,−53−32⋅x4,53+34⋅x4,x4)" Nun, wenn es richtig ist, dann folgt daraus, dass NICHT injektiv ist. Denn injektiv wäre sie (wieder per Definition), wenn es nur eine einzige Lösung gäbe. Du hast aber unendlich viele Lösungen, denn kann ja beliebige Werte annehmen. Im Übrigen, eine Abbildung aus einem 4-dimensionalen Raum in einen 3-Dimensionalen Raum kann generell nicht injektiv sein. Denn eine injektive Abbildung macht aus einem linear unabhängigen System wiederum ein linear unabhängiges. Nimmt man also eine Basis im Ausgangsraum und eine injektive Abbildung , so ist wieder linear unabhängig. Nun aber, in einem 3-Dimensionalen Raum kann es keine 4 linear unabhängige Vektoren geben. |
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Mal wieder viel dazu gelernt, vielen Dank für die ausführliche Erklärung! |
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