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Löse AWP mit Potenzreihenansatz

Universität / Fachhochschule

13:05 Uhr, 23.11.2022

Wie löse ich dieses AWP mit Potenzreihenansatz?

v´(t)=t*(v(t)+1),

v (0) = 0

wobei

v_{0} = {(0)}_{t \in [- 1,1]}

00:07 Uhr, 24.11.2022

Hallo
indem du

u (t) = a 0 + a 1 t + a 2 t^{2}

+....ant^n setzt in die Dgl einsetzt , die Anfangsbed benutzt um

a 0

zu bestimmen dann nacheinander die anderen indem du weiter ableitest und Koeffizentenvergleich machst.
Gruß ledum

02:47 Uhr, 24.11.2022

Nach ein paar mal ableiten

v^{(1)} (t) = t \cdot (v (t) + 1)

v^{(2)} (t) = (t^{2} + 1) \cdot (v (t) + 1)

v^{(3)} (t) = (t^{3} + 3 \cdot t) \cdot (v (t) + 1)

v^{(4)} (t) = (t^{4} + 6 \cdot t^{2} + 3) \cdot (v (t) + 1)

v^{(5)} (t) = (t^{5} + 10 \cdot t^{3} + 15 \cdot t) \cdot (v (t) + 1)

v^{(6)} (t) = (t^{6} + 15 \cdot t^{4} + 45 \cdot t^{2} + 15) \cdot (v (t) + 1)

findet man

v^{(2 \cdot k - 1)} (0) = 0, v^{(2 \cdot k)} (0) = \frac{(2 \cdot k)!}{2^{k} \cdot k!}

für alle

k \in N_{> 0}

.

Damit ergibt sich für die Taylor-Reihe von

v

bei 0

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{v^{(k)} (0)}{k!} \cdot t^{k}

= \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\frac{(2 \cdot k)!}{2^{k} \cdot k!}}{(2 \cdot k)!} \cdot t^{2 \cdot k}

= \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{k} \cdot k!} \cdot {(t^{2})}^{k}

= \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot {(\frac{1}{2} \cdot t^{2})}^{k}

= - 1 + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot {(\frac{1}{2} \cdot t^{2})}^{k}

= - 1 + e^{\frac{1}{2} \cdot t^{2}},

was die DGL löst...

16:41 Uhr, 24.11.2022

Lösen würde ich den Schwenk übrigens nicht per Potenzreihe,
sondern durch die formale Rechnung

v' (t) = t \cdot (v (t) + 1)

mit

v (0) := 0

\Rightarrow t = \frac{v' (t)}{v (t) + 1}

\Rightarrow \int_{0}^{t} x \cdot d x = \int_{0}^{t} \frac{v' (x)}{v (x) + 1} \cdot d x

\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot t^{2} = \int_{0}^{v (t)} \frac{1}{u + 1} \cdot d u

\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot t^{2} = ln (v (t) + 1)

\Rightarrow v (t) = e^{\frac{1}{2} \cdot t^{2}} - 1

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