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Löse AWP mit Potenzreihenansatz

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Anfangswertproblem, AWP, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Potenzreihenansatz

 
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pauml1

pauml1 aktiv_icon

13:05 Uhr, 23.11.2022

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Wie löse ich dieses AWP mit Potenzreihenansatz?

v´(t)=t*(v(t)+1), v(0)=0 wobei v0=(0)t[-1,1]
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ledum

ledum aktiv_icon

00:07 Uhr, 24.11.2022

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Hallo
indem du u(t)=a0+a1t+a2t2 +....ant^n setzt in die Dgl einsetzt , die Anfangsbed benutzt um a0 zu bestimmen dann nacheinander die anderen indem du weiter ableitest und Koeffizentenvergleich machst.
Gruß ledum
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Hellgrinder

Hellgrinder aktiv_icon

02:47 Uhr, 24.11.2022

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Nach ein paar mal ableiten

v(1)(t)=t(v(t)+1)

v(2)(t)=(t2+1)(v(t)+1)

v(3)(t)=(t3+3t)(v(t)+1)

v(4)(t)=(t4+6t2+3)(v(t)+1)

v(5)(t)=(t5+10t3+15t)(v(t)+1)

v(6)(t)=(t6+15t4+45t2+15)(v(t)+1)

findet man v(2k-1)(0)=0,v(2k)(0)=(2k)!2kk! für alle kN>0.

Damit ergibt sich für die Taylor-Reihe von v bei 0

k=0v(k)(0)k!tk

=k=1(2k)!2kk!(2k)!t2k

=k=112kk!(t2)k

=k=11k!(12t2)k

=-1+k=01k!(12t2)k

=-1+e12t2,

was die DGL löst...

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Hellgrinder

Hellgrinder aktiv_icon

16:41 Uhr, 24.11.2022

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Lösen würde ich den Schwenk übrigens nicht per Potenzreihe,
sondern durch die formale Rechnung

v'(t)=t(v(t)+1) mit v(0):=0

t=v'(t)v(t)+1

0txdx=0tv'(x)v(x)+1dx

12t2=0v(t)1u+1du

12t2=ln(v(t)+1)

v(t)=e12t2-1.


05_Differentialgleichungstrick
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