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Lösen Sie den Gleichung z^5 = i

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

Pecolli aktiv_icon

18:04 Uhr, 05.12.2019

ich soll den Gleichung z^5 = i lösen wobei z eine Komplexe Zahl ist. Ich will das in trigonometrische Form haben und daher nach diese Formel

= 5 \sqrt r \cdot (c o s ((P h I) + 2 \cdot k \cdot π) / n + i \cdot s i n ((P h i) + 2 \cdot k \cdot π) / n), f ü r

k=0,1,2,3,4 und n= 5 und r = i

was wäre Phi? Ist Phi immer gleich Pi zu nehmen und falls nein welche ist die einfachste Methode zu wissen was statt Phi zu ersetzen ist?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

rundblick aktiv_icon

18:13 Uhr, 05.12.2019

z^{5} = i

der Winkel , der zum Punkt

i

führt ist nicht PhI und nicht

π,

SONDERN

\to \frac{π}{2}

(das sollte sich herumgesprochen haben

. .)

z^{5} = cos

(90°

+ k \cdot

360°)

+ i \cdot

sin(90°

+ k \cdot

360°)

...

k \in ℤ

\Rightarrow

z_{k} = cos

(18°

+ k \cdot

72°)

+ i \cdot sin (

18°

+ k \cdot

72°)

... .

. für

k = 0, 1, 2, 3, 4

fertig :-)

Pecolli aktiv_icon

18:18 Uhr, 05.12.2019

Danke dir aber wieso hast du den Winkel gefunden, also wieso 90 Grad. (und ich brauchte das in Rad)
Ich hab früher ein Bsp gehabt z^4 = -16 und dort hab ich Pi für alle die Lösungen verwendet, hier verwenden wir Pi/2 und ich will wissen wieso.

rundblick aktiv_icon

18:27 Uhr, 05.12.2019

.
"ich will wissen wieso."

\to

der Punkt

i = (0; 1)

liegt auf der imaginären Achse

\to

der zu irgendwelchen Punkten

w

in der GaussEbene gehörende Winkel (das "Argument von

w)

wird immer , ausgehend von der Richtung der positiven reellen Achse , im Gegenuhrzeigersinn
ermittelt ..
Beispiele :

z = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} + \frac{1}{2} \cdot i \Rightarrow

arg(z)

= +

30°

... .

. oder

\frac{π}{6}

z = - \sqrt{3} + i \Rightarrow

arg(z)

= +

150°

. .

. oder

\frac{5 π}{6}

z = - 18 i \Rightarrow

arg(z) = 270°

. .

. oder

\frac{3 π}{2}

usw

alles klar ?
oder einfach nur abgetaucht ?
.

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