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Lösen der Gleichung - komplex konjugierte Zahl

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Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

akkordi aktiv_icon

13:28 Uhr, 24.02.2011

Hallo, ich stehe vor folgendem Problem: Wie löse ich diese Gleichung?

\frac{z}{\bar{z}} = \frac{3 + 5 \cdot i}{5}

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Gerd30.1 aktiv_icon

15:33 Uhr, 24.02.2011

Setze

z = a + b \cdot i

und

\bar{z} = a - b \cdot i \Rightarrow 5 (a + b \cdot i) = (3 + 5 \cdot i) (a - b \cdot i),

dann bekommst du zwei Gleichungen (Realteil und Imaginärteil)

akkordi aktiv_icon

15:40 Uhr, 24.02.2011

Diesen Ansatz habe ich bereits auch probiert, alerdings komme ich am Schluss auf das Ergebnis

2 \cdot x - 5 \cdot y + i \cdot (8 \cdot y - 5 \cdot x) = 0

(x

statt a und

y

statt

b)

Als nächstes muss ich sowohl

2 \cdot x - 5 \cdot y = 0

als auch

8 \cdot y - 5 \cdot x = 0

setzen oder?
Dann komme ich aber auf das Ergebnis, dass

x

und

y

gleich Null sein müssen und durch Null darf nicht geteilt werden?! (siehe Ausgangsgleichung)

Bummerang

15:46 Uhr, 24.02.2011

Hallo,

\frac{z}{\bar{z}} = \frac{3 + 5 \cdot i}{5}

\frac{z^{2}}{z \cdot \bar{z}} = \frac{3 + 5 \cdot i}{5}

\frac{z^{2}}{{| z |}^{2}} = \frac{3 + 5 \cdot i}{5}

{(\frac{z}{| z |})}^{2} = \frac{3 + 5 \cdot i}{5}

Auf der linken Seite steht das Quadrat einer komplexen Zahl, die auf dem Einheitskeis liegt. Das Quadrat liegt demzufolge ebenfalls auf dem Einheitskreis. Die Zahl im Zähler auf der rechten Seite hat einen Betrag größer

5,

da allein der Imaginärteil schon 5 ist und der Realteil nicht Null. Der Betrag der Zahl auf der rechten Seite ist größer 1 und diese Zahl liegt nicht auf dem Einheitskreis! Damit gibt es kein

z,

das diese Gleichung erfüllt!

Gerd30.1 aktiv_icon

15:47 Uhr, 24.02.2011

Ich löse so auf:

5 x + 5 y \cdot i = 3 x + 5 y - 3 y \cdot i + 5 x \cdot i \Rightarrow

5 x = 3 x + 5 y

und

5 y = 5 x - 3 y

akkordi aktiv_icon

15:52 Uhr, 24.02.2011

Ich habe dieselben Auflösungen, aber es gibt anscheinend keine Lösung dieser Gleichung, wie oben gerade begründet wurde. Das gleiche Ergebnis hatte ich ja bereits, wollte es aber nicht glauben. Danke für die Hilfe!

Gerd30.1 aktiv_icon

16:01 Uhr, 24.02.2011

wir kommen beide zu dem Schluss, dass

x = y = 0

sein sein müsste, und das macht keinen Sinn, also nicht lösbar (ist oben schöner begründet worden)

Gerd30.1 aktiv_icon

16:03 Uhr, 24.02.2011

zu korrigieren wäre höchstens, dass der Imaginärteil auf der rechten rechten Seite nicht 5 sondern 1 ist, aber der Realteil

\frac{3}{5},

somit der Betrag

> 1

Bummerang

14:23 Uhr, 26.02.2011

Hallo gerdware,

danke für die Kontrolle!

"zu korrigieren wäre höchstens, dass der Imaginärteil auf der rechten rechten Seite nicht 5 sondern 1 ist"

Aber beim nächsten Mal bitte genauer lesen, das steht und stand (quasi schon immer):

"Die Zahl im Zähler auf der rechten Seite hat einen Betrag größer

5,

da allein der Imaginärteil schon 5 ist und der Realteil nicht Null. Der Betrag der Zahl auf der rechten Seite ist größer 1"

Das Ganze für Dich noch mal langsam und zum Mitschreiben: Auf der rechten Seite steht ein Bruch, der hat einen Zähler (das ist die Zahl oberhalb des Bruchstriches) und einen Nenner (das ist die Zahl darunter). Die Zahl im Zähler hat einen Imaginärteil von 5 und einen von Null verschiedenen Realteil. Damit ist der Betrag der Zahl im Zähler größer als 5. Als Begründung dafür soll genügen, dass die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks immer größer ist als die Seitenlänge der größten Kathete. Das folgt unmittelbar aus dem Satz des Pythagoras und der Voraussetzung, dass die Seitenlängen größer Null sind. Wenn man nun den Betrag des Bruches ermittelt, ergibt er sich natürlich als Quotient der Beträge von Zähler und Nenner. Die Zahl im Zähler hat einen Betrag größer als 5 und die Zahl im Nenner einen Betrag gleich 5. Damit ergibt sich als Quotient, und demzufolge auch als Betrag des Bruches auf der rechten Seite, eine Zahl, die größer als 1 ist. Insofern war alles korrekt und eine Korrektur nicht nötig.

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