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Lösen einer DGL

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: DGL

bird98 aktiv_icon

13:29 Uhr, 14.02.2020

Hallo Leute,

leider ist mir nicht ganz bewusst, wieso man im nächsten Schritt mit r(Punkt) multipliziert und im nächsten Schritt mit

\frac{d}{d t}

multipliziert. (Ist unten orange markiert)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

14:11 Uhr, 14.02.2020

r'' = - \frac{γ M}{r^{2}}

Multiplikation mit

r'

r'' r' = - \frac{γ M}{r^{2}} r'

Nun nutzt man Kettenregel, es gilt:

\frac{d}{d t} r'^{2} = (r'^{2})' = 2 r' (r')' = 2 r' r''

Dann ist also mit einsetzen von

r'' = - \frac{γ M}{r^{2}}

\frac{d}{d t} r'^{2} = 2 r' r'' = - 2 \frac{γ M}{r^{2}} r'

;-)

bird98 aktiv_icon

14:20 Uhr, 14.02.2020

Hallo Eddi,

danke erstmals für deine Erklärung, doch ist mir leider nicht so ganz klar, wie man auf den Ansatz kommt

\frac{d}{d t} r'^{2}

Edddi aktiv_icon

14:43 Uhr, 14.02.2020

. .

. Kettenregel! Ich zeigs mal mit

y = f (x)

(y'^{2})' = 2 \cdot y' \cdot (y')' = 2 \cdot y' \cdot y''

;-)

bird98 aktiv_icon

14:47 Uhr, 14.02.2020

Ich habe schon verstanden, dass es die Kettenregel ist! Kann die Schritte nachvollziehen, nur verstehe nicht, wieso man überhaupt

\frac{d}{d t} r'^{2}

verwendet. Man hat vorher in der Gleichung

r'' r' = ...

. stehen, also vorher mit

r'

multipliziert.

Edddi aktiv_icon

15:27 Uhr, 14.02.2020

. .

. man hat damit eine nichtlineare DFGl 2. Ordnung in eine lineare 1. Ordnung überführt und kann nun durch einsetzen der Anfangsbedingungen die Gleichung lösen.

;-)

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