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Lösen einer DGL mit Potenzreihenansatz

Universität / Fachhochschule

Tags: Potenzreihe

Matherusse aktiv_icon

10:56 Uhr, 12.04.2012

Tag liebes Forum. Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe. Ich muss zugeben, dass ich mich mit Potenzreihen nicht gut auskenne. Ich weiß zwar was geometrische Reihen sind und kenne einige Annäherungsverfahren aber folgende Aufgabe will sich von mir trotzdem nicht lösen lassen:

Lösen Sie die folgende lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten:

y' (x) + a \cdot x \cdot y (x) = 0; (y (0) = y_{0}

beliebig)

mit Hilfe des Potenzreihenansatzes:

y (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n}

.

Ich habe auch einen Lösungsweg aber ich verstehe ihn leider nicht: (Steht in der eckigen Klammer)

[a_{2 k + 1} = 0

(alle Koeffizienten mit ungeradem Index verschwinden)

]

< -

Warum?

[a_{2 k} = y_{0} \frac{{(- a)}^{k}}{k! \cdot 2^{k}}

für alle

k \in ℕ_{0}]

Ok, wenn alle ungeraden Koeffizienten weg sind, bleiben ja nur noch die geraden übrig. Aber was hat der Teil hinter dem GLeichheitszeichen für eine Bedeutung?

[y (x) = y_{0} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- a)}^{k}}{k! \cdot 2^{k}} x^{2 k} = y_{0} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- \frac{a}{2} x^{2})}^{k}}{k!} = y_{0} e^{- \frac{a}{2} x^{2}}]

Also mir ist klar, dass so ein Ergebnis rauskommen muss aber wie genau man dorthin kommt kann ich hier noch nicht rauslesen. Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte! Bin erst heut abend wieder da.

Gruß
MR

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Paulus

15:36 Uhr, 12.04.2012

Hallo Matherusse

ich kenne mich zwar hier nicht so recht aus, aber zur ersten Frage:

Wenn man das mal ohne Summenzeichen macht, dann ist doch

y (x) = a_{0} + a_{1} \cdot x + a_{2} \cdot x^{2} + a_{3} \cdot x^{3} + a_{4} \cdot x^{4} + a_{5} \cdot x^{5} + a_{6} \cdot x^{6} + . .

.

und damit

y (x)' = a_{1} + 2 \cdot a_{2} \cdot x + 3 \cdot a_{2} \cdot x^{2} + 4 \cdot a_{3} \cdot x^{3} + 5 \cdot a_{4} \cdot x^{4} + 6 \cdot a_{5} \cdot x^{5} + . .

.

Womit die gegebene Differenzialgleichung so wird:

a_{1} + 2 \cdot a_{2} \cdot x + 3 \cdot a_{2} \cdot x^{2} + 4 \cdot a_{3} \cdot x^{3} + 5 \cdot a_{4} \cdot x^{4} + 6 \cdot a_{5} \cdot x^{5} + . .

+ a \cdot x \cdot (a_{0} + a_{1} \cdot x + a_{2} \cdot x^{2} + a_{3} \cdot x^{3} + a_{4} \cdot x^{4} + a_{5} \cdot x^{5} + a_{6} \cdot x^{6} + ...) = 0

Das wird dann zu:

a_{1} + (2 \cdot a_{2} + a \cdot a_{0}) \cdot x + (3 \cdot a_{3} + a \cdot a_{1}) \cdot x^{2} + (4 \cdot a_{4} + a \cdot a_{2}) \cdot x^{3} + (5 \cdot a_{5} + a \cdot a_{3}) \cdot x^{4} + (6 \cdot a_{6} + a \cdot a_{4}) \cdot x^{5} + . .

= 0

Damit wird (ich schreibe mal nur die ungeraden hin)

a_{1} = 0

3 \cdot a_{3} + a \cdot a_{1} = 0

5 \cdot a_{5} + a \cdot a_{3} = 0

7 \cdot a_{7} + a \cdot a_{5} = 0

. .

. .

. .

.

Die erste Gleichung in der zweiten eingesetzt, führt zu

a_{3} = 0,

weiter

a_{5} = 0

und so weiter

Gruss

Paul

Matherusse aktiv_icon

19:06 Uhr, 12.04.2012

Hi, erstmal vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast!

Also ich hätte da noch eine Frage.
Wie hast du denn am Ende die Reihe "geteilt" ? Die Reihe geht ja von

n = 0

bis

n = \infty

. Sie ist also unendlich lang. Du hast die Reihe nun mit der Bedingung

y' (x) + a \cdot x \cdot y (x) = 0

ausgerechnet und dann "geteilt". Was genau tust du nachdem die Reihe anschaulicher vorliegt?

Auf

a_{1} = 0

kommst du wegen

y' (x) + a \cdot x \cdot y (x) = 0

oder? Aber wie genau?

Paulus

11:00 Uhr, 13.04.2012

Hallo Matherusse

ich habe nichts geteilt. Das, was auf 2 Zeilen steht, ist nur eine einzige Gleichung. Die

. .

. bedeuten "und so weiter bis unendlich".

und bei den Indizes habe ich mit tatsächlich verschrieben. So war es gemeint:

a_{1} + 2 a_{2} x + 3 a_{3} x^{2} + 4 a_{4} x^{3} + 5 a_{5} x^{4} + 6 a_{6} x^{5} + . .

+ a \cdot x \cdot (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + ...) = 0

Hier habe ich einfach in die Klammer hineinmultipliziert:

a_{1} + 2 a_{2} x + 3 a_{3} x^{2} + 4 a_{4} x^{3} + 5 a_{5} x^{4} + 6 a_{6} x^{5} + . .

+ a \cdot a_{0} \cdot x + a \cdot a_{1} x^{2} + a \cdot a_{2} x^{3} + a \cdot a_{3} x^{4} + a \cdot a_{4} x^{5} + a \cdot a_{5} x^{6} + a \cdot a_{6} x^{7} + . .

= 0

Und dann alles nach Potenzen von

x

geordnet:

a_{1} + 2 a_{2} x + a \cdot a_{0} x + 3 a_{3} x^{2} + a \cdot a_{1} x^{2} + 4 a_{4} x^{3} + a \cdot a_{2} x^{3} + 5 a_{5} x^{4} + a \cdot a_{3} x^{4} + 6 a_{6} x^{5} + a \cdot a_{4} x^{5} + . .

= 0

Und noch ausgeklammert:

a_{1} + (2 a_{2} + a \cdot a_{0}) x + (3 a_{3} + a \cdot a_{1}) x^{2} + (4 a_{4} + a \cdot a_{2}) x^{3} + (5 a_{5} + a \cdot a_{3}) x^{4} + (6 a_{6} + a \cdot a_{4}) x^{5} + . .

= 0

Weil diese Gleichung ja für ALLE

x

gelten muss, habe ich geschlossen, dass ALLE Koeffizienten Null sein müssen, insgesondere auch

a_{1}

. Und dann wie in der ersten Antwort gezeigt, sukzessive

a_{3} = 0

a_{5} = 0

a_{7} = 0

. .

. .

.

Natürlich gilt dann auch (weil es ja für ALLE Koeffizienten gilt):

2 a_{2} + a \cdot a_{0} = 0

4 a_{4} + a \cdot a_{2} = 0

6 a_{6} + a \cdot a_{4} = 0

. .

. .

.

Wobei dann

a_{0}

auch gleich

y_{0}

ist, es also auch so hingeschrieben werden kann:

2 a_{2} + a \cdot y_{0} = 0

4 a_{4} + a \cdot a_{2} = 0

6 a_{6} + a \cdot a_{4} = 0

. .

. .

.

Das müsstest du dann auch sukzessive von oben nach unten auflösen:

Erste Gleichung nach

a_{2}

auflösen und in der zweiten Gleichung einsetzen. Dann:
Zweite Gleichung nach

a_{4}

auflösen und in der dritten Gleichung einsetzen. Dann:
Dritte Gleichung nach

a_{6}

auflösen und in der vierten Gleichung einsetzen. Dann:
Vierte Gleichung nach

a_{8}

auflösen und in der fünften Gleichung einsetzen. Dann:
Fünfte Gleichung nach

a_{10}

auflösen und in der sechsten Gleichung einsetzen. Dann:
Sechste Gleichung nach

a_{12}

auflösen und in der siebenten Gleichung einsetzen.

. .

.

Und versuchen, eine allgemeine Formel dafür zu kreieren. Es sollte das herauskommen, wo du oben gefragt hast, was das hinter dem Gleichheitszeichen für eine Bedeutung habe.

Gruss

Paul

Matherusse aktiv_icon

22:15 Uhr, 15.04.2012

Hi! Ich kann dir gar nicht genug danken für deine ausführliche und wirklich idiotensichere Erklärung. Hab den Salat jetzt verstanden, vielen Dank!

Gruß
MR

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