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Lösen einer DGL mit Rechenregeln für kleine Größen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichung, kleine Größen

Jeyn0sch aktiv_icon

15:57 Uhr, 31.01.2010

Hallo miteinander,

wie löse ich folgende Aufgabe:

Linearisieren sie die Differentialgleichung

5 \cdot x'' + 6 \cdot x \cdot x' = 0

mit den Rechenregeln zum Rechnen mit kleinen Größen.

Also DGLs kapier ich, das Rechnen mit kleinen Größen auch, aber bei der Aufgabe weiß ich einfach nicht was ich machen soll...

vielen Dank schon mal im voraus

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Rechenregeln zum Integral
Rechnen mit Logarithmen

OmegaPirat

16:08 Uhr, 31.01.2010

ich weiß zwar nicht, was "rechnen mit kleinen Größen" bedeutet, aber vielleicht hilft dir das weiter

(x^{2})' = 2 \cdot x \cdot x'

Also
folgt für deine Dgl

x'' + 3 \cdot (x^{2})' = 0

bzw

(x' + 3 \cdot x^{2})' = 0

und damit

x' + 3 \cdot x^{2} = C

mit

C

als irgendeine konstante.
jetzt musst du wahrscheinlich diese dgl linearisieren, wahrscheinlich für kleine

x

oder was ist damit gemeint?

michaL aktiv_icon

16:15 Uhr, 31.01.2010

Hallo,

und genau nach Bernds Ausführungen kommen die Rechenregeln für das Rechnen mit (unendlich) kleinen Größen ins Spiel, die es erlauben, die DGL (

(5 x ʹ + 3 x^{2}) ʹ = C

von Bernd, mit kleiner Korrektur) mit Trennung der Variablen und anschließender Variation der Konstanten abzuarbeiten.

Klar, wie das geht?

Mfg Michael

Jeyn0sch aktiv_icon

16:33 Uhr, 31.01.2010

Danke schon mal für die Antworten.
aber mir is das noch nicht klar:
warum ist

(x^{2})' = 2 \cdot x \cdot x'

is doch nur

2 \cdot x

also soll ich in die DGL

5 x' + 3 x^{2} = C

einsetzen:

x = x_{0} \cdot (1 + \frac{d x}{x_{0}})

???

und was setze ich für

x'

ein? Die Ableitung davon?

OmegaPirat

17:22 Uhr, 31.01.2010

x

ist eine funktion, die von irgendeiner variablen abhängt, per konvention bedeutet der strich eigentlich immer eine ableitung nach

x,

ich habe deine notation übernommen, wobei sie so aber ungünstig ist.

meinetwegen sei jetzt die abhängige

t

.
also

x (t)

Man leitet dann nach

t

ab, es ist dann

d \frac{x^{2}}{d t} = 2 \cdot x \cdot \frac{d x}{d t}

ich habe hier die kettenregel angewandt, es ist zwar

d \frac{x^{2}}{d x} = 2 x,

aber im ersten falle ist

x

nicht ableitungsvariable, sondern

x

ist eine funktion der ableitungsvariable. die äußere ableitung ergibt

2 x

und die innere

\frac{d x}{d t}

Jeyn0sch aktiv_icon

17:53 Uhr, 31.01.2010

Alles klar, des hab ich ja total vergessen, es is ja eine Funktion gesucht.

Die Ableitung is jetz also klar, was bleibt ist die Frage wie ich jetz die Rechenregeln mit kleinen Größen einbringen soll...

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